ក្រលាផ្ទៃរង្វង់

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

ក្រលាផ្ទៃរង្វង់ដែលមានកាំ r កំនត់ដោយរូបមន្ត $\ \color{blue} S = \pi r^2$

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់

សមីការរង្វង់ដែលមានផ្ចិតស្ថិតនៅត្រង់គល់ O កំនត់ដោយ

$\ x^2 + y^2 = r^2$

ដែល r ជាកាំ ។ យើងសរសេរ y ជាអនុគមន៍នៃអថេរ x និង ចំនួនថេរ r ។

$\begin{align} \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} &= 1 \\ \Rightarrow \frac{y}{r} & = \sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}\\ \Rightarrow y & = r\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}\end{align}$

ដោយស៊ីមេទ្រី ក្រលាផ្ទៃនៃរង្វង់ផ្ចិត O ស្មើនឹងបួនដងនៃក្រលាផ្ទៃរវាង (0, 0) និង (r, 0) ផ្នែកខាងលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស។ យើងអាចធ្វើអាំងតេក្រាលដើម្បីគណនាក្រលាផ្ទៃរង្វង់៖

$S = 4 r\int_ 0^r \sqrt{1 - -\frac{x^2}{r^2}} dx$

ដើម្បីរកព្រីមីទីវនៃ $\sqrt{1 - -\frac{x^2}{r^2}}$ យើងតាង

$\ x = r \sin \theta$

$\theta = arcsin \frac{x}{r}$

$\ dx = r \cos \theta d\theta$

ហេតុនេះ

$S = 4 r\int_0^r \sqrt{1 - -\frac{x^2}{r^2}} dx = 4r \int_0^{\frac{\pi}{2}} r \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta d\theta$

ដោយ $\ 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ យើងបាន

$S = 4r \int_0^{\frac{\pi}{2}} r \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta d\theta = 4r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 \theta d\theta$

ដោយ $\cos^2 \theta = \frac{1}{2} (1 + \cos 2\theta)$ យើងបាន

$\begin{align} S &=4r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 \theta d\theta \\ &= 4r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} (1+\cos 2\theta) d\theta \\ & = 2r^2 \theta |_0^{\frac{\pi}{2}} + 2r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2\theta d\theta \\ &= \pi r^2 + 2r^2 (\sin 2\theta) |_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &= \pi r^2 \end{align}$

ដូចនេះក្រលាផ្ទៃរង្វង់ដែលមានកាំ r ស្មើនឹង $\ \color{blue} \pi r^2$

ក្រលាផ្ទៃរង្វង់

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់

ការមើល

ឧបករណ៍ផ្ទាល់ខ្លួន

ស្វែងរក

ទិសដៅ

សហគមន៍

ប្រអប់ឧបករណ៍

ជាភាសាដទៃទៀត

ក្រលាផ្ទៃរង្វង់

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់

ការមើល

ឧបករណ៍ផ្ទាល់ខ្លួន

ស្វែងរក

ទិសដៅ

សហគមន៍

ប្រអប់​ឧបករណ៍

ជាភាសាដទៃទៀត

ប្រអប់ឧបករណ៍