ច្បាប់​ហ៊ូក

រ៉ឺសរ​មួយ​ក្រោយ​ទាញ​ចុះ​ក្រោម​ប្រវែង x ។ កំលាំង F ប្រឹង​ទាញ​រ៉ឺសរ​អោយ​ទៅ​ទីតាំង​ដើម​វិញ

ក្នុងមេកានិច, និង រូបវិទ្យា, ច្បាប់ហ៊ូក នៃ អេឡាស្ទីស៊ីតេ ជា​ការ​ប្រហែល​មួយ​ដែល​ចែង​ថា សាច់លូត​របស់​រ៉ឺសរ​មួយ​សមាមាត្រ​នឹង​បន្ទុក​ដែល​មាន​អំពើលើវា អោយ​តែ​បន្ទុក​នោះ​មិន​មាន​តំលៃ​លើសពីលីមីតអេឡាស្ទិចទេ។ សម្ភារៈ​ដែល​អាច​ប្រើ​ច្បាប់​ហ៊ូក​បាន គេ​ហៅថា សម្ភារៈលីនេអ៊ែរអេឡាស្ទិច រឺ សម្ភារៈ​ហ៊ូក។ ឃ្លា​សាមញ្ញ​របស់​ច្បាប់​ហ៊ូក​បាន​ចែងថា ដេហ្វម៉ាស្យុងសមាមាត្រជាមួយកុងត្រាំង។ តាមបែបគណិតវិទ្យា ច្បាប់ហ៊ូកចែងថា

$\ F=-k x,$

ដែល

$\ x$ ជាបំលាស់ទី របស់ចុងរ៉ឺសរចេញពីទីតាំងលំនឹងរបស់វា (គិតជា "m" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI);

$\ F$ ជាកំលាំងដែលមានអំពើលើរ៉ឺសរ (គិតជា "N" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI); និង

$\ k$ ជាថេររ៉ឺសរ (គិតជា " N•m^-1" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI).

សញ្ញាដក ក្នុងរូបមន្តខាងលើ មានន័យថា កំលាំងមានទិសដៅផ្ទុយពីបំលាស់ទី៖ បើយើងទាញទៅខាងឆ្វេង រ៉ឺសរ​ទាញ​មក​ខាង​ស្ដាំវិញ។ នៅ​ពេល​ដែល​ទំនាក់ទំនង​រវាង​កំលាំង​និង​បំលាស់ទី គោរព​តាម​ច្បាប់​ហ៊ូក គេនិយាយថា រ៉ឺសរ​មាន​លក្ខណៈ​លីនេអ៊ែរ។ ច្បាប់ហ៊ូកត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម រ៉ូប៊ែរ ហ៊ូក ដែល​ជា​រូបវិទូ​អង់គ្លេស​ក្នុង​សតវត្សរ៍​ទី​១៧។

អេឡាស្ទិច

របារ​មាន​មុខ​កាត់ A រង​កំលាំង F

វត្ថុមួយមានលក្ខណៈអេឡាស្ទិចបើវាត្រលប់ទៅជាមានរូបរាងដូចដើមវិញភ្លាមៗក្រោយពីខូចទ្រង់ទ្រាយដោយសារកំលាំងមក ដោយ​ម៉ូលេគុល​រឺ​អាតូម​របស់​សម្ភារៈ​ត្រលប់​ទៅ​សភាព​ដើម​ដែល​ជា​សភាព​មាន​លំនឹង​ស្តាប។ បើបន្ទាប់ពីដកកំលាំងចេញ វត្ថុ​នៅ​សល់​ដេហ្វម៉ាស្យុង​ខ្លះ នោះយើងនិយាយថា វត្ថុនោះមានលក្ខណៈប្លាស្ទិច។

យើងពិនិត្យ​របារ​មួយ ដែល​សម្ភារៈ​របស់​វា​អាចចាត់ទុកថាមាន​លក្ខណៈ​អេឡាស្ទិច ដូច្នេះ​របារ​នេះ​ប្រៀប​បាន​ជា​រ៉ឺសរលីនេអ៊ែរមួយ​ដែរ។ របារ​មានប្រវែង $\ L$ មានមុខកាត់ $\ A$ ។ យើង​ចាប់​​ទាញ​របារ​នេះ​ដោយ​កំលាំង $\ F$ ។ តាម​ច្បាប់​ហ៊ូក បំលាស់​ទី $\ u$ សមាមាត្រនឹងកំលាំង $\ F$ ដូច្នេះ

$\ F=k u$

យើងមាន

កុងត្រាំង $\sigma=\frac{F}{A} \implies F= \sigma A$

ដេហ្វម៉ាស្យុង $\epsilon=\frac{u}{L} \implies u=\epsilon L$

ដូច្នេះ

$F=k u \implies \sigma A =k \epsilon L$

$\implies \sigma =\frac{kL}{A} \epsilon =E \epsilon$

ដែល $\textstyle E$ មាន​ឈ្មោះ​ថា ម៉ូឌុល​យ៉ាំង។

ច្បាប់ហ៊ូកផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះសម្ភារៈខ្លះក្រោមលក្ខខណ្ឌបន្ទុកខ្លះតែប៉ុណ្ណោះ។ ដែក មាន​លក្ខណៈ​លីនេអ៊ែរ​អេឡាស្ទិច​នៅ​ក្នុង​ការ​អនុវត្ត​ជាក់ស្ដែង​ក្នុង​វិស័យ​វិស្វកម្ម​ភាគ​ច្រើន ; ច្បាប់​ហ៊ូក​មាន​តំលៃ​ត្រឹមត្រូវ​តែ​នៅ​ក្នុង​ដែន​អេឡាស្ទិច​តែ​ប៉ុណ្ណោះ (ឧទាហរណ៍​ចំពោះ​កុងត្រាំង​តូច​ជាង លីមីតអេឡាស្ទិច)។ សម្ភារៈ​ខ្លះ​ទៀត ដូចជា អាលុយមីញ៉ូម, ច្បាប់​ហ៊ូក​ផ្ទៀងផ្ទាត់​បាន​តែ​នៅ​លើ​ផ្នែក​ណា​មួយ​នៃ​ដែន​អេឡាស្ទិចតែប៉ុណ្ណោះ។ ចំពោះសម្ភារៈបែបនេះ គេ​កំនត់​តំលៃ​កុងត្រាំង​លីមីត​មួយ​ដែល​នៅ​ពេល​កុងត្រាំង​ឋិត​នៅ​ក្រោម​តំលៃ​លីមីតនេះ គេ​អាច​សន្មត​ថា​កុងត្រាំង​សមាមាត្រ​នឹងដេហ្វម៉ាស្យុងបាន ដោយ​មិន​សូវ​ល្អៀងខ្លាំង ដែល​លីមីត​នោះ​គេ​ហៅ​ថា កុងត្រាំងលីមីតសមាមាត្រ។ កៅស៊ូ ត្រូវបានចាត់ទុកជាទូទៅថាមិនមែនជាប្រភេទសម្ភារៈហ៊ូកព្រោះអេឡាស្ទីស៊ីតេរបស់វាអាស្រ័យនឹងកុងត្រាំងនិងប្រែប្រួលខ្លាំងទៅតាមសីតុណ្ហភាពនិងអត្រាកំនើនបន្ទុក។ ការ​អនុវត្តច្បាប់ហ៊ូកមាននៅក្នុងម៉ាស៊ីនថ្លឹងប្រើរ៉ឺសរ ការ​វិភាគ​កុងត្រាំង​និង​ការ​ធ្វើ​ម៉ូដែល​សម្ភារៈ។

កន្សោម​តង់ស៊័រ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក

នៅ​ពេលធ្វើ​ការ​ក្នុង​សភាព​កុងត្រាំង 3D, គេ​ត្រូវ​តែ​កំណត់​តង់ស៊័រ​លំដាប់​ទី៤ $\mathsf{c}$ ($c_{ijk\ell}$) ដែល​មាន​កុំប៉ូសង់​ចំនួន​៨១ ដែល​ជា​មេគុណ​អេឡាស្ទិច, ដើម្បី​ភ្ជាប់​ទំនាក់ទំនង​រវាង​កុងត្រាំង​ $\boldsymbol{\sigma}$ (σ_ij) និង ដេហ្វរម៉ាស្យុង $\boldsymbol{\epsilon}$ ($\epsilon_{k\ell}$)។

$\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{c}:\boldsymbol{\epsilon} ~.$

ដោយ​សរសេរ​ ជា​អនុគមន៍​នៃ​កុំប៉ូសង់​ក្នុង​តម្រុយ​កែង, ទម្រង់​ទូទៅ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក អាច​សរសេរ​ជា (ដោយ​ប្រើ​ទម្រង់​បូក​សន្មត​របស់​អាញស្តាញ)

$\sigma_{ij} = c_{ijk\ell}~\epsilon_{k\ell}$

តង់ស៊័រ $\mathsf{c}$ មាន​ឈ្មោះ​ថា តង់ស៊័រ​ stiffness ឬ តង់ស៊័រ​អេឡាស្ទីស៊ីតេ។ ដោយ​សារ​ភាព​ស៊ីមេទ្រី នៃ​តង់ស៊័រ​កុងត្រាំង, តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង និង តង់ស៊័រ stiffness, នោះ គេ​មាន​មេគុណ​អេឡាស្ទិចឯករាជ្យ​ចំនួន​តែ ២១ តែ​ប៉ុណ្ណោះ។ ខ្នាត​របស់​កុងត្រាំង​ដូច​ខ្នាត​របស់​សម្ពាធ, ដេហ្វរម៉ាស្យុង​គ្មាន​ខ្នាត ដូច្នេះ មេគុណ $c_{ijk\ell}$ មាន​ខ្នាត​ដូច​សម្ពាធ​ដែរ​។

កន្សោម​ទូទៅ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក អាច​បញ្ច្រាស​ទាញ​រក​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​ជា​អនុគមន៍​នៃ​កុងត្រាំង​បាន និង កំណត់​ដោយ ៖

$\boldsymbol{\epsilon} = \mathsf{s}:\boldsymbol{\sigma} \qquad {\rm or} \qquad \epsilon_{ij} = s_{ijk\ell}~\sigma_{k\ell} ~.$

តង់ស៊័រ $\mathsf{s}$ ហៅថា compliance tensor។

សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប

សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប​មាន​លក្ខណៈ​ពិសេស​ត្រង់​មិន​អាស្រ័យ​នឹង​ទិសក្នុង​លំហ។ ដូច្នេះ​ សមីការ​រូប​សម្រាប់​សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប ក៏​ត្រូវ​តែ​មិន​អាស្រ័យ​នឹង​ប្រព័ន្ធ​អ័ក្ស​ ដែរ។ តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​មាន​ភាព​ស៊ីមេទ្រី។ ដោយ Trace របស់​គ្រប់​តង់ស៊័រ​​ទាំង​អស់​មិន​អាស្រ័យ​នឹង​ប្រព័ន្ធ​តម្រុយ ដូច្នេះ​ការ​សរសេរ​តង់ស៊័រ​ស៊ីមេទ្រី​មួយ​ដែល​មិន​អាស្រ័យ​នឹង​ប្រព័ន្ធ​អ័ក្ស​ គេ​គួរ​តែ​សរសេរ​ជា​អនុគមន៍​នៃ​ផលបូក​នៃ​តង់ស៊័រ​ថេរ និង តង់ស៊័រ​មាន​ Trace ស្មើ​សូន្យ។ ដូច្នេះ៖

$\varepsilon_{ij} = \left(\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) + \left(\varepsilon_{ij}-\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)$

ដែល $\delta_{ij}$ ជា​ សញ្ញា​ Kronecker។

តួ​ទី​មួយ​នៃ​អង្គ​ខាង​ស្ដាំ ជា​តង់ស៊័រ​ថេរ ដែល​គេ​ហៅ​ថា តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​មាឌ និង តួ​ទី​ពីរ ជា​តង់ស៊័រ​ស៊ីមេទ្រី​ មាន​ Trace ស្មើ​សូន្យ ដែល​គេ​ហៅ​ថា តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​លំងាក ឬ តង់ស៊័រ​កាត់​។

ទម្រង់​ទូទៅ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក សម្រាប់​សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប ជា​បន្សំ​លីនេអ៊ែរ​នៃ​តង់ស៊័រ​ទាំង​ពីរ ៖

$\sigma_{ij}=3K\left(\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) +2G\left(\varepsilon_{ij}-\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)$

ដែល K ជា​ ម៉ូឌុល​ bulk និង G ជា​ ម៉ូឌុល​កាត់​ ។ ទម្រង់​នេះ​អាច​សម្រួល​មក​ជា ៖

$\sigma_{ij}=\frac{E}{1+\nu }\left( \varepsilon_{ij}+\frac{\nu }{1-2\nu }\varepsilon_{kk}\delta _{ij}\right)$

ដែល៖

- $\sigma_{ij}$ = កុងត្រាំង

- $E\$ = ម៉ូឌុលយ៉ាំង (Young)

- $\nu$ = មេគុណ Poisson

ទំរង់បញ្ចេញរបស់ច្បាប់នេះគឺៈ

$\begin{align} \varepsilon_{11} & = \tfrac{1}{E}\left[ \sigma_{11} - \nu(\sigma_{22}+\sigma_{33}) \right] \\ \varepsilon_{22} & = \tfrac{1}{E}\left[\sigma_{22} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{33}) \right] \\ \varepsilon_{33} & = \tfrac{1}{E}\left[\sigma_{33} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) \right] \\ \varepsilon_{12} & = \tfrac{1}{2G}~\sigma_{12} ~;~~ \varepsilon_{13} = \tfrac{1}{2G}~\sigma_{13} ~;~~ \varepsilon_{23} = \tfrac{1}{2G}~\sigma_{23} \end{align}$

ក្រោម​ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស ច្បាប់​ហ៊ូក​សម្រាប់​សម្ភារៈ​អ៊ីសូត្រូប​អាច​សរសេរ​ជា ៖

$\begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{31} \\ \gamma_{12} \end{bmatrix} = \cfrac{1}{E} \begin{bmatrix} 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}$

ដែល $\gamma_{ij} := 2\varepsilon_{ij}$ ជា​ ដេហ្វរម៉ាស្យុង​កាត់​វិស្វកម្ម។ ទម្រង់​ច្រាស​អាច​សរសេរ​ជា

$\begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = \cfrac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}$

ដោយ​ប្រើ​ថេរ ឡាមេ (Lamé) $\lambda = K - 2/3 G$ និង $\mu = G$ , ទម្រង់​នេះ​អាច​សម្រួល​ទៅ​ជា

$\begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\mu+\lambda & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & 2\mu+\lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & 2\mu+\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}$

ច្បាប់​ហ៊ូក​សម្រាប់​សភាព​ប្លង់​នៃ​កុងត្រាំង​

ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​សភាព​ប្លង់​នៃ​កុងត្រាំង យើង​មាន $\sigma_{33} = \sigma_{31} = \sigma_{13} = \sigma_{32} = \sigma_{23} = 0$។ ក្នុង​ករណី​នេះ ច្បាប់​ហ៊ូក​ មាន​រាង

$\begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} = \cfrac{1}{E} \begin{bmatrix} 1 & -\nu & 0 \\ -\nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2(1+\nu) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}$

ទម្រង់​ច្រាស​ អាច​សរសេរ​ជា

$\begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = \cfrac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}$

សម្ភារៈ​អានីសូត្រូប

ដោយ​សារ​ភាព​ស៊ីមេទ្រី នៃ​កុងត្រាំង​កូស៊ី ($\sigma_{ij} = \sigma_{ji}\,$) និង​ទម្រង់​ទូទៅ​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក ($\sigma_{ij} = c_{ijk\ell}~ \epsilon_{k\ell}$) យើង​ទាញ​បាន​ថា $c_{ijk\ell} = c_{jik\ell}\,$។ ដូចគ្នា ភាព​ស៊ីមេទ្រី​នៃ តង់ស៊័រ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង​អតិសុខុម នាំ​ឱ្យ $c_{ijk\ell} = c_{ij\ell k}\,$។ ភាព​ស៊ីមេទ្រី​ទាំង​នេះ មាន​ឈ្មោះ​ថា ស៊ីមេទ្រី​តូច នៃ​ តង់ស៊័រ​ stiffness ($\mathsf{c}$) ។

ជាង​នេះ​ទៅ​ទៀត ដោយ​សារ​ក្រាដ្យង់បំលាស់ទី និង កុងត្រាំង​កូស៊ី ជា​កម្មន្តឆ្លាស់ នោះ​ទំនាក់ទំនង​កុងត្រាំង​ដេហ្វរម៉ាស្យុង អាច​កំណត់​ចេញ​ពី​អនុគមន៍​ដង់ស៊ីតេ​ដេហ្វរម៉ាស្យុង ($U$), ដូច្នេះ

$\sigma_{ij} = \cfrac{\partial U}{\partial \epsilon_{ij}} \quad \implies \quad c_{ijk\ell} = \cfrac{\partial^2 U}{\partial \epsilon_{ij}\partial \epsilon_{k\ell}}~.$

ដោយ​សារ​លំដាប់លំដោយ​នៃ​ការ​ដេរីវេ​​គ្មាន​ភាព​​សំខាន់ នោះ $c_{ijk\ell} = c_{k\ell ij}\,$។ លក្ខណៈ​នេះ​ហៅ​ថា ស៊ីមេទ្រី​ធំ នៃ​តង់ស៊័រ stiffness tensor ។ ស៊ីមេទ្រី​ធំ និង ស៊ីមេទ្រី​តូច បង្ហាញ​ថា ម៉ាទ្រីស stiffness មាន​កុំប៉ូសង់​ដាច់​គ្នា​ ចំនួន​តែ​ ២១ តែ​ប៉ុណ្ណោះ។

ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស នៃ​តង់ស៊័រ Stiffness

ជាទូទៅ គេតែង​​តែ​សរសេរ​ទម្រង់​អានីសូត្រូប​នៃ​ច្បាប់​ហ៊ូក ក្រោម​ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស ដែល​គេ​ហៅ​ថា ទម្រង់ Voigt ។ ដើម្បី​សរសេរ​ជា​ទម្រង់​ម៉ាទ្រីស គេទាញ​យក​ប្រយោជន៍ពី​ភាព​ស៊ីមេទ្រី​របស់​តង់ស៊័រ​កុងត្រាំង និង ដេហ្វរម៉ាស្យុង ហើយ​សរសេរ​ពួក​វា​ជា​វ៉ិចទ័រ​មាន​ ៦ កុំប៉ូសង់​ ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​តម្រុយ​កែង($\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$) ជា

$[\boldsymbol{\sigma}] = \begin{bmatrix}\sigma_{11}\\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} ~;~~ [\boldsymbol{\epsilon}] = \begin{bmatrix}\epsilon_{11}\\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ 2\epsilon_{23} \\ 2\epsilon_{31} \\ 2\epsilon_{12} \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3 \\ \epsilon_4 \\ \epsilon_5 \\ \epsilon_6 \end{bmatrix}$

ដូច្នេះ តង់ស៊័រ​ stiffness ($\mathsf{c}$) អាច​សរសេរ​ជា

$[\mathsf{C}] = \begin{bmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1131} & c_{1112} \\ c_{2211} & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2231} & c_{2212} \\ c_{3311} & c_{3322} & c_{3333} & c_{3323} & c_{3331} & c_{3312} \\ c_{2311} & c_{2322} & c_{2333} & c_{2323} & c_{2331} & c_{2312} \\ c_{3111} & c_{3122} & c_{3133} & c_{3123} & c_{3131} & c_{3112} \\ c_{1211} & c_{1222} & c_{1233} & c_{1223} & c_{1231} & c_{1212} \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\ C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \end{bmatrix}$

និង​ច្បាប់ហ៊ូក សរសេរ​ជា

$[\boldsymbol{\sigma}] = [\mathsf{C}][\boldsymbol{\epsilon}]$

ឬ

$\qquad \sigma_i = C_{ij} \epsilon_j$

ស្រដៀង​គ្នា​ដែរ តង់ស៊័រ compliance ($\mathsf{s}$) អាច​សរសេរ​ជា

$[\mathsf{S}] = \begin{bmatrix} s_{1111} & s_{1122} & s_{1133} & 2s_{1123} & 2s_{1131} & 2s_{1112} \\ s_{2211} & s_{2222} & s_{2233} & 2s_{2223} & 2s_{2231} & 2s_{2212} \\ s_{3311} & s_{3322} & s_{3333} & 2s_{3323} & 2s_{3331} & 2s_{3312} \\ 2s_{2311} & 2s_{2322} & 2s_{2333} & 4s_{2323} & 4s_{2331} & 4s_{2312} \\ 2s_{3111} & 2s_{3122} & 2s_{3133} & 4s_{3123} & 4s_{3131} & 4s_{3112} \\ 2s_{1211} & 2s_{1222} & 2s_{1233} & 4s_{1223} & 4s_{1231} & 4s_{1212} \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} & S_{13} & S_{14} & S_{15} & S_{16} \\ S_{12} & S_{22} & S_{23} & S_{24} & S_{25} & S_{26} \\ S_{13} & S_{23} & S_{33} & S_{34} & S_{35} & S_{36} \\ S_{14} & S_{24} & S_{34} & S_{44} & S_{45} & S_{46} \\ S_{15} & S_{25} & S_{35} & S_{45} & S_{55} & S_{56} \\ S_{16} & S_{26} & S_{36} & S_{46} & S_{56} & S_{66} \end{bmatrix}$