ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

អនុគមន៍	ដេរីវេ
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec^2(x)$
$\cot(x)$	$-\csc^2(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos(x)$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan(x)$	$\frac{1}{x^2+1}$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺជាវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា​មួយក្នុងស្វែងរកអត្រាដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដោយគោរពតាម​អថេរ។ វាក៏ត្រូវបានគេហៅម្យ៉ាងទៀតថាជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតាទូទៅរួមមាន $\sin (x) , \cos (x) \,$ និង  $\tan (x) \,$។

ឧទាហរណ៍៖ ក្នុងគណនា $f'(x) \,$ ដោយធ្វើដេរីរេនៃអនុគមន៍ $f(x) = \sin (x) \,$ ដែលជាការគណនាអត្រាបំលាស់ប្តូរនៃអនុគមន៍ $\sin (x) \,$ នៅត្រង់ចំនុច a មួយ។ តំលៃនៃអត្រានៅត្រង់ចំនុច a គឺផ្តល់អោយដោយ $f'(a) \,$ ។ ការយល់ដឹងអំពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីគោលការណ៍បឋមគឺជាការចាំបាច់ ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ និងលីមីត។ គ្រប់អនុគមន៍ទាំងអស់គឺជាប់ទាក់ទងនឹងតំលៃ arbitrary នៃ x ជាមួយនឹងគ្រប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសំដែងដោយគោរពតាម x ។

ដេរីវេនៃ sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) and csc(x) និងអនុគមន៍ច្រាស់របស់វា

$f(x)=\sin(x) \implies f'(x)=\cos(x)$

$f(x)=\cos(x) \implies f'(x)=-\sin(x)$

$f(x)=\tan(x) \implies f'(x) = (\tan(x))' = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x) = \sec^2(x)$

$f(x)=\cot(x) \implies f'(x) = (\cot(x))' = \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)' = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -(1+\cot^2(x)) = -\csc^2(x)$

$f(x)=\sec(x) \implies f'(x) = (\sec(x))' = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)}.\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)$

$f(x)=\csc(x) \implies f'(x) = (\csc(x))' = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)' = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)}.\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)$

$f(x)=\arcsin(x) \implies f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$f(x)=\arccos(x) \implies f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$f(x)=\arctan(x) \implies f'(x)=\frac{1}{x^2+1}$

សំរាយបញ្ជាក់នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និងកូសីនុស

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស

តាមនិយមន័យដេរីរេនៃ f(x) គេបាន៖

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}$

ហេតុនេះបើ f(x) = sin(x) គេបាន

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}$

ប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ គេបាន

$\sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B) \,$ យើងអាចថា

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}$

ផ្តុំតួ cos(x) និង sin(x) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}$

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}$

ដោយសារ sin(x) និង cos(x) មិនខុសគ្នានឹង h

$f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}$

តំលៃនៃលីមីត

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad$  និង  $\quad \lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}$

គឺស្មើ ១ និង ០ ។ ដូច្នេះបើ f(x) = sin(x) គេបាន

$f'(x)=\cos(x) \,$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុស

តាមនិយមន័យដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) គេបាន៖

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}$

ហេតុនេះបើ f(x) = cos(x) គេបាន

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}$

យោងតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B) \,$ យើងបាន

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}$

ផ្តុំតួ sin(x) និង cos(x) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)(1-\cos(h))\over h}$

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

$f'(x)=-\lim_{h\to 0}{\sin(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\cos(x)(1-\cos(h))\over h}$

ដោយសារតែ sin(x) និង cos(x) មិនខុសពី h គេបាន

$f'(x)=-\sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \cos(x)\lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}$

តំលៃនៃលីមីត

$\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad$  និង  $\quad \lim_{h\to 0}{1-\cos(h)\over h}$

គឺស្មើនឹង ១ និង ០ ។ ហេតុនេះបើ f(x) = cos(x) គេបាន

$f'(x)=-\sin(x) \,$

សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍តង់សង់

យើងមាន

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

តាង $f(x) = \tan (x) , g(x) = \sin (x) \,$ និង $h(x) = \cos (x) \,$

ចំពោះ $h(x) \ne 0 \,$ នោះបានដេរីវេនៃ$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ កំនត់ដោយ

$\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$

យោងតាមសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនៃអនុគមន៍តង់សង់

$\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}$

ដោយ

ដេរីវេនៃ $g(x)=\sin(x) \,$ គឺ $g'(x)=\cos(x) \,$

ដេរីវេនៃ $h(x)=\cos(x) \,$ គឺ $h'(x)=-\sin(x) \,$

ដោយជំនួសតំលៃនៃដេរីវេ គេបាន

$f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}$

បន្ទាប់ពីធ្វើប្រមាណរួចគេបាន

$f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

ដោយអនុវត្តន៍សញ្ញាណនៃត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \,$   និង  $\sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$

គេបាន

$f'(x)= \frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x)$

សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសច្រាស់ (អាកស៊ីនុស)

យើងតាង

$y=\arcsin x \,$

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖

${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$

${dy \over dx}\cos y=1$

${dy \over dx}=\frac{1}{\cos y}$

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន

${dy \over dx}=\frac{1}{\cos (\arcsin x)}$

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

${dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

ដូច្នេះ បើ f(x) = arcsin(x) យើងបាន

$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសច្រាស់ (អាកកូស៊ីនុស)

យើងតាង

$y=\arccos x \,$

នោះគេបាន

$\cos y=x \,$

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖

${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$

$-{dy \over dx}\sin y=1$

${dy \over dx}=\frac{-1}{\sin y}$

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន

${dy \over dx}=\frac{-1}{\sin (\arccos x)}$

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

${dy \over dx}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

ដូច្នេះ បើ f(x) = arccos(x) យើងបាន

$f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍តង់សង់ច្រាស់ (អាកតង់សង់)

យើងតាង

$y=\arctan x \,$

នោះយើងបាន

$\tan y=x$

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx យើងបាន៖

${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$

${dy \over dx}\sec^2 y=1$

${dy \over dx}=\frac{1}{\sec^2 y}$

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ តើងបាន

${dy \over dx}=\frac{1}{\sec^2 (\arctan x)}$

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

${dy \over dx}=\frac{1}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2}$

${dy \over dx}=\frac{1}{x^2+1}$

ដូច្នេះ បើ f(x) = arctan(x)

$f'(x)=\frac{1}{x^2+1}$

វាមានភាពងាយស្រួលជាងដើម្បីទាញបានទំនាក់ទំនង៖ $tan(arctan(x))=x \,$

ចូរស្វែងយល់អំពីដេរីវេនៃ $\tan (x) \,$ គឺ $1+tan^2(x) \,$ ។

សូមមើលផងដែរ

• ដេរីវេ
• ត្រីកោណមាត្រ
• តារាងដេរីវេ