តង់សង់អ៊ីពែបូលីក

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

ទៅកាន់៖ ទិសដៅ, ស្វែងរក
ក្រាបនៃអនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​លើដែនកំនត់ \ \mathbb R

ក្នុង​គណិតវិទ្យា អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​​គឺ​​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

មាតិកា

[កែប្រែ] និយមន័យ

អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​ត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ tanh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖

\begin{matrix} \tanh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {\sinh(z)} {\cosh(z)} \end{matrix}

ដែល \ \sinh គឺជា​អនុគមន៍ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​ និង \ \cosh គឺជា​អនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​។ និយមន័យនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹង​អនុគមន៍តង់សង់​ដែរ ដែលតង់សង់គឺជាផលធៀបរវាងស៊ីនុស និង កូស៊ីនុស។

អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh អាចសរសេរដោយប្រើប្រាស់​​អនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែល៖

\color{blue} \tanh(z)=\frac {e^z-e^{-z}} {e^z+e^{-z}} = \frac {e^{2z}-1} {e^{2z}+1}

[កែប្រែ] លក្ខណៈទូទៅ

[កែប្រែ] ស៊េរីតេល័រ

tanh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេអនន្ត

\tanh^{(n)}(0)=\sum_{k=0}^{n-1} \left(-1\right)^k \left \langle {n\atop k} \right \rangle

ដែល \left \langle {n\atop k} \right \rangle ជាចំលាស់នៃ \ \{1,..., n\}

tanh អាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះគ្រប់ចំនុចដូចខាងក្រោម៖

\tanh z = z - \frac {z^3} {3} + \frac {2z^5} {15} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {\tanh^{(n)}(0)} {(2n+1)!} z^{2n+1}

[កែប្រែ] ពន្លាតជាប្រភាគតៗគ្នា

tanh ជាអនុគមន៍កំនត់លើ \ \mathbb R និងអាចពន្លាតជាប្រភាគបន្តបន្ទាប់ដូចតទៅ៖

\tanh x=\frac {x} {1+\frac {x^2} {3+\frac {x^3} {5+\cdots} } }

[កែប្រែ] តំលៃ

តំលៃមួយចំនួននៃ tanh

  • \ \tanh(0) = 0
  • \tanh(1) = \frac {e^2-1} {e^2+1}
  • \ \tanh(i) = i \tan(1)

[កែប្រែ] អនុគមន៍ច្រាស់

ក្រាប​នៃ​អនុគមន៍ artang (x)

អនុគមន៍ច្រាស់នៃអនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh តាងដោយ artanh ឬ arctanh ឬ \ \tanh^{-1} (ហៅថា​អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីកច្រាស់)។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយការពុះចែកអង្កត់ \left]-\infty ;-1\right[ និង \left]1;+\infty \right[ ។

\operatorname{artanh}(z) = \frac {1}{2} \left( \ln(1+z)-ln(1-z) \right)

ចំពោះ x \in \left]-1;1 \right[ អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh មាន​ដែនកំនត់​លើ \mathbb R ហើយ​អនុគមន៍ច្រាស់​របស់​វា​កំនត់ដោយ៖

artanh (x)=\frac {1}{2} ln\left( \frac {1+x} {1-x} \right) ។

[កែប្រែ] សូមមើលផងដែរ

បានមកវិញពី "http://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%8F%E1%9E%84%E1%9F%8B%E1%9E%9F%E1%9E%84%E1%9F%8B%E1%9E%A2%E1%9F%8A%E1%9E%B8%E1%9E%96%E1%9F%82%E1%9E%94%E1%9E%BC%E1%9E%9B%E1%9E%B8%E1%9E%80"