តារាងអាំងតេក្រាល

សូមមើលនៅក្នុងតារាងខាងក្រោម​សំរាប់តារាងពេញលេញចំពោះអាំងតេក្រាលប្រភេទអនុគមន៍​នីមួយៗ៖

• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទាន
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អសនិទាន
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់អ៊ីពែបូលីក
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍លោការីត

តារាងអាំងតេក្រាល

អាំងតេក្រាល ជាប្រមាណវិធីគោលមួយក្នុងចំនោមប្រមាណវិធីគោលទាំង២​នៅក្នុងគណិតវិទ្យាវិភាគ។ ដេរីវេ អាចគណនាបានដោយងាយ​ដោយប្រើដេរីវេនៃអនុគមន៍គោល ចំនែកអាំងតេក្រាលវិញតែងមានការលំបាក ជាហេតុធ្វើអោយគេចាំបាច់ពឹងលើតារាងអាំងតេក្រាល។ អត្ថបទនេះនិងណែនាំអំពីអាំងតេក្រាលសំខាន់ៗមួយចំនួន។

យើងកំនត់យក C ធ្វើជាថេរអាំងតេក្រាល ដែលអាចគណនារកបាន កាលណាគេដឹងតំលៃអាំងតេក្រាលនៅត្រង់ចំនុចមួយ។ ហេតុនេះអាំងតេក្រាល(ព្រីមីទីវ)នៃអនុគមន៍​មួយ មានចំនួនរាប់មិនអស់។

សូមរកមើលផងដែរក្នុង តារាងដេរីវេ

អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ងាយ

អនុគមន៍អសនិទាន

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អសនិទាន

$\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C$

$\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C$

$\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C$

$\int {-dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \csc^{-1} {|x| \over a} + C$

អនុគមន៍លោការី

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍លោការីត

$\int \ln (x)\,dx = x \ln (x) - x + C$

$\int \log_b (x)\,dx = x\log_b (x) - x\log_b (e) + C$

អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C$

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = -\csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \frac{\sin 2x}{2} ) + C = \frac{1}{2}(x - \sin x\cos x ) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \frac{\sin 2x}{2}) + C = \frac{1}{2}(x + \sin x\cos x ) + C$

$\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C$

(see integral of secant cubed)

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C$

$\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C$

អនុគមន៍ច្រាស់អ៊ីពែបូលីក

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់អ៊ីពែបូលីក

$\int \operatorname{arcsinh}\, x \, dx = x\, \operatorname{arcsinh}\, x - \sqrt{x^2+1} + C$

$\int \operatorname{arccosh}\, x \, dx = x\, \operatorname{arccosh}\, x - \sqrt{x^2-1} + C$

$\int \operatorname{arctanh}\, x \, dx = x\, \operatorname{arctanh}\, x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C$

$\int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x\, \operatorname{arccsch}\, x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C$

$\int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x\, \operatorname{arcsech}\, x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C$

$\int \operatorname{arccoth}\,x \, dx = x\, \operatorname{arccoth}\, x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C$

អាំងតេក្រាលកំនត់នៃអនុគមន៍​ពិបាកៗ

មានអនុគមន៍ខ្លះ គេមិនអាចរកព្រីមីទីវ​របស់វាតាមរយៈការធ្វើអាំងតេក្រាលធម្មតាបានទេ ប៉ុន្តែគេអាចគណនារកតំលៃអាំងតេក្រាលកំនត់របស់វា​នៅក្នុងចន្លោះមួយ។ ឧទាហរណ៍មួយចំនួនត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម៖

$\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$ (មើលផងដែរ អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា)

$\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$ (អាំងតេក្រាលហ្គោស)

$\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}$ (មើលផងដែរ ចំនួនប៊ែរនូយី)

$\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}$

$\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}$

$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2}$ (បើ n ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបគូ​ហើយ $\scriptstyle{n \ge 2}$)

$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n}$ (បើ$\scriptstyle{n}$ ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបសេស​ហើយ $\scriptstyle{n \ge 3}$)

$\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}$

$\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)$ (ដែល $\Gamma(z)$ ជា អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា)

$\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]$ (ដែល $\exp[u]$ ជា អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល $e^u$, ហើយ $a>0$)

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)$ (ដែល $I_{0}(x)$ ជា អនុគមន៍បេសសលប្រភេទទី១)

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$

$\int_{-\infty}^{\infty}{(1 + x^2/\nu)^{-(\nu + 1)/2}dx} = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma(\nu/2)} {\Gamma((\nu + 1)/2))}\,$, $\nu > 0\,$, ទាក់ទិននិង អនុគមន៍ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ នៃ របាយស្ទូដិន)

method of exhaustion ផ្ដល់នូវរូបមន្តទូទៅក្នុងករណីដែលគ្មានអនុគមន៍ព្រីមីទីវ៖

$\int_a^b{f(x)\,dx} = (b - a) \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^{2^n - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)2^{-n} ).$

"sophomore's dream"

$\begin{align} \int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n} &&(= 1.29\dots)\\ \int_0^1 x^x \,dx &= \sum_{n=1}^\infty -(-1)^nn^{-n} &&(= 0.783430510712\dots) \end{align}$

តំនភ្ជាប់ក្រៅ

• S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas
• Paul's Online Math Notes