ទ្រឹស្តីបទ​កូស៊ីនុស

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

(ត្រូវបានបញ្ជូនបន្តពី ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស)
ទៅកាន់៖ ទិសដៅ, ស្វែងរក

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស (ឬច្បាប់កូស៊ីនុស ឬរូបមន្តកូស៊ីនុស, Law of cosines) គឺជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុង និងកូស៊ីនុសមុំមួយនៃត្រីកោណ។

ទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុងនិងមុំក្នុងត្រីកោណ

មាតិកា

[កែប្រែ] ទ្រឹស្តីបទ

ចំពោះ \vartriangle ABC \, ដែលមាន a = BC, \, b = CA,\, c = AB,\, \alpha = \ang CAB,\, \beta = \ang ABC,\, \gamma = \ang BCA \, នោះគេបាន

  • \color{blue} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma \,
  • \color{blue} b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos \beta \,
  • \color{blue} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha \,
\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\ \,
\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ca}\ \,
\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\ \,

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់

[កែប្រែ] ដោយប្រើរូបមន្តចំងាយរវាងពីរចំនុច

យើងមានត្រីកោណ ABC មានរង្វាស់ជ្រុង a, b, c និង \theta \, ជារង្វាស់មុំឈមនៃជ្រុងដែលមានរង្វាស់ c ។ យើងអាចដាក់ត្រីកោណក្នុងបប្រព័ន្ធកូអរដោនេ ដែល A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\,\, និង \, \ C(0,0) \, ។ តាមរូបមន្តចំងាយរវាងចំនុច A និង B យើងបាន

\begin{align} c & {} = \sqrt{(b\cos \theta - a)^2+(b\sin \theta - 0)^2} \\ \Rightarrow c^2 & {} = (b\cos \theta - a)^2+(b\sin \theta - 0)^2 \\ & {} = b^2 \cos ^2 \theta - 2ab\cos \theta + a^2 + b^2\sin ^2 \theta \\ & {} = a^2 + b^2 (\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta ) - 2ab\cos \theta \\ & {} = a^2 + b^2 - 2ab\cos \theta \end{align}

[កែប្រែ] ដោយប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

ត្រីកោណស្រួច(មុំទាំងបីជាមុំស្រួល)ជាមួយបន្ទាត់កែង

គូសបន្ទាត់មួយកែងនឹងជ្រុងដែលមានរង្វាស់ c ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងបាន

c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,

(ករណីនៅតែពិតដដែលទោះបីជា α ឬ β ជាមុំទាល (មុំដែលមានតំលែនៅចន្លោះ 90° និង ១៨០°) ដែលករណីនេះបន្ទាត់កែងស្ថិតនៅក្រៅត្រីកោណ។)

ដោយគុណអង្គសងខាងនៃសមីការនឹង c យើងបាន

c^2 = ac\cos \beta + bc\cos \alpha \,\,\,(1)

ដូចគ្នាដោយសន្មតថាមានបន្ទាត់កែងគូសចេញពីកំពូលផ្សេងទៀត យើងបាន

a^2 = ac\cos \beta + ab\cos \gamma \,
b^2 = bc\cos \alpha + ab\cos \gamma \,

បូកសមីការទាំងពីរចុងក្រោយខាងលើចូលគ្នា យើងបាន

a^2 + b^2 = ac\cos \beta + bc\cos \alpha + 2ab\cos \gamma \,
\Rightarrow ac\cos \beta + bc\cos \alpha = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma \,\,\,(2)

ដោយជំនួសតំលៃនៃ (2) \, ទៅក្នុងសមីការ (1) \, ខាងលើ យើងបាន

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma \,

[កែប្រែ] ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាករ

ត្រីកោណទាល(មានមុំ១ជាមុំទាល) មានកំពស់ BH

ករណីមុំទាល៖ អឺគ្លីតបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណកែងទាំងពីរ (ត្រីកោណកែង AHB និងCHB ) ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ។ តាង d ជាប្រវែងអង្កត់ CH និង h ជាកពស់ BH នៃត្រីកោណ AHB យើងបាន

c^2 = (b+d)^2 + h^2 \,

និងចំពោះត្រីកោណ CHB យើងបាន

d^2 + h^2 = a^2 \,

ដោយពន្លាតកន្សោមនៃសមីការទី១ខាងលើ យើងបាន

c^2 = b^2 + 2bd + d^2 +h^2 \,

ដោយជំនួសទៅក្នុងសមីការទី២ខាងលើ យើងបាន

c^2 = a^2 + b^2 + 2bd \,\,\,(3)

ដោយបំលែងទំរង់នេះទៅជាទំរងទំនើបនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស គេបានកំនត់សំគាល់

d = a\cos(\pi-\gamma)= -a\cos \gamma \,

ជំនួសតំលៃ d ទៅក្នុងសមីការ (3)\,\, យើងបានទ្រឹស្តីកូស៊ីនុស

\color{blue} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma \,
សំរាយបញ្ជាក់ខ្លីដោយប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ ចំពោះករណីមុំទាល

ករណីមុំទាល៖ អឺគ្លីដបានអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណកែងទាំងពីរដែលបង្កើត​ដោយគូសទំលាក់បន្ទាត់មកជ្រុងដែលមានរង្វាស់ b ជាប់មុំ γ និងបានប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា ដើម្បីសំរាយអោយងាយ។

សំរាយបញ្ជាក់ម្យ៉ាងទៀតចំពោះករណីមុំទាល៖ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណកែងផ្នែកខាងធ្វេង ក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងបាន

\begin{align} c^2 & {} = (b-a\cos \gamma)^2 + (a\sin \gamma )^2 \\ & {} = b^2 - 2ab\cos \gamma + a^2(\cos^2 \gamma )+a^2(\sin^2 \gamma) \\ & {} = b^2 + a^2 - 2ab\cos \gamma \end{align}

(ដែលតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ \cos^2 \gamma +a^2 \sin^2 \gamma \, )

[កែប្រែ] ដោយប្រើផលគុណស្កាលែនៃវ៉ិចទ័រ

ដោយប្រើវិធីគណនារករង្វាស់វ៉ិចទ័រតាមរយៈផលគុណស្កាលែនៃវ៉ិចទ័រ យើងបានបំណកស្រាយទ្រឹស្តីកូស៊ីនុសបង្ហាញដូចខាងក្រោម

c^2\, =\lVert\overrightarrow{\mathrm{AB}}\lVert^2
= \lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2
=\lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}\lVert^2-2\cdot\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\lVert\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2
=\mathrm{CB}^2-2\cdot\left|\mathrm{CB}\right|\cdot\left|\mathrm{CA}\right|\cos\widehat{\mathrm{ACB}}+\mathrm{CA}^2
=a^2+b^2-2ab \cos\gamma\,

[កែប្រែ] ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសចំពោះត្រីកោណសមបាទ

ពេល a = b មានន័យថាត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណសមបាត ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងពីរមានប្រវែងស្មើគ្នា។ នោះ a^2 + b^2 = 2a^2 = 2ab \,។ គេបាន

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma \,
c^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \gamma \,
c^2 = 2a^2(1 - \cos \gamma ) \,

\Rightarrow 1 - \cos \gamma = \frac {c^2} {2a^2} \,

\Rightarrow \cos \gamma = 1 - \frac{c^2}{2a^2} \;

[កែប្រែ] អនុវត្ត

តាង a,b,c ជា​ប្រវែង​ជ្រុង និង A,B,C ជា​មុំ​នៃ​ត្រីកោណ​ ABC តាង S ជា​ក្រឡា​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ ABC។ ចូរ​ស្រាយ​បញ្ជាក់​ថា

\cot A + \cot B + \cot C = \displaystyle \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{4S}}

ដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

S = \frac{1} {2} bc \sin A

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងបាន

\begin{align} a^2 & {} = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ & {} = b^2 + c^2 - 4(\frac{1} {2}) bc \sin A \cdot \frac{\cos A} {\sin A} \\ & {} = b^2 + c^2 - 4S \cot A \\ \end{align}

ដូចគ្នាដែរ

b^2 = a^2 + c^2 - 4S \cot B \,
c^2 = a^2 + b^2 - 4S \cot C \,
\Rightarrow \begin{cases} \cot A = \frac {b^2+c^2-a^2} {4S} \\ \cot B = \frac {a^2+c^2-b^2} {4S} \\ \cot C = \frac {a^2+b^2-c^2} {4S} \\ \end{cases}

ដូច្នេះយើងបាន

\cot A + \cot B + \cot C = \frac {b^2+c^2-a^2} {4S} + \frac {a^2+c^2-b^2} {4S} + \frac {a^2+b^2-c^2} {4S} =\displaystyle \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{4S}}

[កែប្រែ] សូមមើលផងដែរ

បានមកវិញពី "http://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%91%E1%9F%92%E1%9E%9A%E1%9E%B9%E1%9E%9F%E1%9F%92%E1%9E%8F%E1%9E%B8%E1%9E%94%E1%9E%91%E2%80%8B%E1%9E%80%E1%9E%BC%E1%9E%9F%E1%9F%8A%E1%9E%B8%E1%9E%93%E1%9E%BB%E1%9E%9F"
ឧបករណ៍ផ្ទាល់ខ្លួន