ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា

ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា: ករណីទី១: បន្ទាត់​បី​ប្រសព្វ​គ្នា​ត្រង់​ចំនុច O ផ្នែក​ខាង​ក្នុង​ត្រីកោណ ABC

ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា: ករណីទី២: បន្ទាត់​ទាំងបី​ប្រសព្វ​គ្នា​ត្រង់​ចំនុច O ផ្នែក​ខាង​ក្រៅ​​ត្រីកោណ ABC

ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា (Ceva's theorem) គឺជាទ្រឹស្តីបទធរណីមាត្រក្នុងប្លង់។

ទ្រឹស្តីបទ

គេមានត្រីកោណ និងចំនុច D, E, និង F ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់រៀងគ្នា (BC), (CA), និង (AB) ។ ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ាពោលថា បន្ទាត់ (AD), (BE) និង (CF) ប្រសព្វត្រង់ចំនុចតែមួយលុះត្រាតែ

$\color{magenta}{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1$

វាក៏មានទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ាផងដែរ គឺថា បន្ទាត់ (AD), (BE), (CF) ប្រសព្វត្រង់ចំនុចតែមួយលុះត្រាតែ

$\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}\times\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF}\times\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE}=1$

ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ដោយ​គណិតវិទូអ៊ីតាលី​ឈ្មោះ Giovanni Ceva ក្នុងឆ្នាំ ១៦៧៨ ប៉ុន្តែវាត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់អោយងាយស្រួលដោយ​អ្នកគណិតវិទ្យា​ជនជាតិអារ៉ាប់​ឈ្មោះ Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd ដែលជាព្រះមហាក្សត្រនៅសតវត្សទី១១ នៃ Zaragoza ។

រួមជាមួយនឹងរូបភាពនៅខាងស្តាំ ពាក្យមួយចំនួនត្រូវបានទាញចេញពីឈ្មោះឆិវ៉ា ដូចជា: បន្ទាត់ឆិវៀន (បន្ទាត់ (AD), (BE), (CF) ឆិវៀននឹង O), ត្រីកោណឆិវ៉ា (ត្រីកោណ DEF ជាត្រីកោណឆិវ៉ានៃ O) ជាដើម។

បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ

ឧបមាថាគេមានបន្ទាត់ (AD), (BE) និង (CF) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុច O ។ ដោយសារ $\triangle BOD \,$ និង $\triangle COD \,$ មានកំពស់ដូចគ្នា គេបាន

$\frac{S_{BOD}}{S_{COD}}=\frac{BD}{DC}$

ដូចគ្នាដែរ

$\frac{S_{BAD}}{S_{CAD}}=\frac{BD}{DC}$

គេបាន

$\frac{BD}{DC}= \frac{S_{BAD}-S_{BOD}}{S_{CAD}-S_{COD}} =\frac{S_{ABO}}{S_{CAO}}$

ដូចគ្នាដែរ

$\frac{CE}{EA}=\frac{S_{BCO}}{S_{ABO}}$

និង

$\frac{AF}{FB}=\frac{S_{CAO}}{S_{BCO}}$

ដោយធ្វើប្រមាណវិធីគុណចំពោះសមីការទាំងបីខាងលើ គេបាន

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

បំណាកស្រាយច្រាសមកវិញ

ឧបមាថាគេមានចំនុច D, E និង F ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការខាងលើ។ តាង (AD) និង (BE) ជាបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាត្រង់ O និងតាង $F' \,$ ជាចំនុចប្រសព្វនៃ (CO) និង (AB) ។ យើងគ្រាន់តែបង្ហាញថា

$\frac{AF'}{F'B} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

ដោយប្រៀបធៀបនឹងសមភាពខាងលើ យើងបាន

$\frac{AF'}{F'B}=\frac{AF}{FB}$

បូកអង្គសងខាងនឹង ១ និងប្រើ $AF' + F'B = AF + FB = AB \,$ យើងបាន

$\frac{AB}{F'B}=\frac{AB}{FB}$

ហេតុនេះ $F'B = FB \,$ មានន័យថា $F \,$ និង $F' \,$ ត្រួតស៊ីគ្នា (ជាចំនុចតែមួយ) ។ ដូចនេះ (AD), (BE) និង (CF) ($CF = CF' \,$) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ O និងទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

បំណកស្រាយចំពោះទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទ

ចែកត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណតូចចំនួនបីគឺ ត្រីកោណ AOB, BOC និង COA ។ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសចំពោះត្រីកោណនិមួយៗ យើងបាន

$\frac{\sin\angle OAB}{\sin\angle OBA}=\frac{OB}{OA} \text{  ; } \frac{\sin\angle OBC}{\sin\angle OCB}=\frac{OC}{OB}\text{  ; } \frac{\sin\angle OCA}{\sin\angle OAC}=\frac{OA}{OC}$

នៅពេលយើងគុណសមីការទាំងបី អង្គខាងស្តាំនឹងស្មើ ១ ។ ស៊ីនុសចំនួន៦នៅអង្គខាងធ្វេងដោយផ្តុំតួនីមួយៗឡើងវិញនិងដាក់ជាកន្សោម គេនឹងបានទ្រឹស្តីបទទំរង់ត្រីកោណមាត្រដូចដែលបានពោល។

ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ាចំពោះអង្កត់ធ្នូ

ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា​ចំពោះអង្កត់ធ្នូ

តាង A B C D E និង F ជា៦ចំនុចរៀងគ្នាជុំវិញបរិវេណរង្វង់មួយ នោះគេបានអង្កត់ធ្នូប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុចតែមួយ លុះត្រាតែ

$AB \cdot CD \cdot EF = BC \cdot DE \cdot FA$

(ក) សំរាយបញ្ជាក់ ១

ឧបមាថា AD, BE, CF ប្រសព្វគ្នាត្រង់ M ។ តាមរយៈលក្ខណៈត្រីកោណដូចគ្នា យើងបានសមាមាត្រដូចតទៅ

• $\frac{AB}{DE} = \frac{MA}{ME}$

• $\frac{EF}{BC} = \frac{MF}{MB}$

• $\frac{CD}{FA} = \frac{MC}{MA}$

• $\frac{MC}{ME} = \frac{MB}{MF}$

ដោយគុណសមីការខាងលើបញ្ចូលគ្នា យើងបាន

$\frac{AB}{DE} \cdot \frac{EF}{BC} \cdot \frac{CD}{FA} \cdot \frac{MC}{ME} = \frac{MA}{ME} \cdot \frac{MF}{MB} \cdot \frac{MC}{MA} \cdot \frac{MB}{MF}$

$\Longleftrightarrow \frac{AB}{DE} \cdot \frac{EF}{BC} \cdot \frac{CD}{FA} \cdot \frac{MC}{ME} = \frac{MC}{ME}$

$\Longleftrightarrow \frac{AB}{DE} \cdot \frac{EF}{BC} \cdot \frac{CD}{FA} = 1$

$\therefore \quad \color{blue} AB \cdot EF \cdot CD = DE \cdot BC \cdot FA$

(ខ) សំរាយបញ្ជាក់ ២ (សំរាយច្រាស់)

ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា

ឧបមាថា

$AB \cdot CD \cdot EF = BC \cdot DE \cdot FA \qquad (1)$

គេបានក្នុងចំនោមធ្នូ $\widehat{ABC}, \quad \widehat{CDE}, \quad \widehat{EFA}$ យ៉ាងហោចណាស់មានធ្នូមួយតូចជាកន្លះរង្វង់។ ដោយសន្មតថា $\widehat{CDE}$ តូចជាងកន្លះរង្វង់។ តាង M ជាចំនុចប្រសព្វរវាង BE និង CF ហើយ AM កាត់រង្វង់ម្តង់ទៀតត្រង់ចំនុច X (ដែលត្រូវតែស្ថិតនៅលើធ្នូ $\widehat{CDE}$)

តាមសំរាយបញ្ជាក់ ក ខាងលើ យើងបាន

$AB \cdot CX \cdot EF = BC \cdot XE \cdot FA \qquad (2)$

ដោយផ្សំជាមួយនឹង (1) យើងបាន

$\frac{CD}{DE} = \frac{CX}{XE} \qquad (3)$

ប្រសិនបើ​ X មិនត្រួតស៊ីគ្នានឹង D ទេ ។ ឧបមាថាវាស្ថិតនៅលើធ្នូ $\widehat{DE}$ (សូមមើលរូបខាងស្តាំ) នោះ $CD < CX \,$ និង $DE > XE \,$ ។ យើងអាចសន្និដ្ឋាន $\frac{CD}{DE} < \frac{CX}{XE}$ វិសមភាពនេះមិនផ្ទៀងផ្ទាត់នឹង (3) ទេ។

ហេតុនេះ X ត្រូវតែត្រួតស៊ីគ្នានឹង D ។ ជំនួស X ដោយ D ក្នុង (2) យើងបាន

$AB \cdot CD \cdot EF = BC \cdot DE \cdot FA$

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស