ទ្រឹស្តីបទតូលេមី

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

ទ្រឹស្តីបទតូលេមីជាទំនាក់ទំនងរវាងរង្វាស់ជ្រុងនៃចតុកោណ

ក្នុងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទតូលេមី (Ptolemy's theorem) ជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងក្នុងធរណីមាត្រអឺគ្លីតរវាងជ្រុងទាំង៤ និងអង្កត់ទ្រូង២ ឬអង្កត់ធ្នូពីរនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។ ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានយកឈ្មោះតាមតារាវិទូ និងជាគណិតវិទូជនជាតិក្រិចឈ្មោះតូលេមី។ បើចតុកោណមានកំពូលជ្រុងរៀងគ្នា A, B, C, និង D នោះគេបានទ្រឹស្តីបទផ្តល់អោយដោយទំនាក់ទំនង

$\color{blue} AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\,$

ដែល

AB , BC, CD, AD ជារង្វាស់ជ្រុងនៃចតុកោណ ABCD
AC និង BD ជារង្វាស់អង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណ ABCD

មាតិកា

១ សំរាយបញ្ជាក់
- ១.១ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស
- ១.២ សំរាយបញ្ជាក់តាមលក្ខណៈធរណីមាត្រ
២ សូមមើលផងដែរ

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់

[កែប្រែ] ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

ខាងក្រោមនេះជាសំរាយបញ្ជាក់នៃទ្រឹស្តីបទតូលេមីដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស។

គេមានចតុកោណ ABCD ដែល $a = AD,\, b = AB,\, c = BC,\, d = DC \,\,$ និង $\,\, \ang A = \ang DAB,\, \ang B = \ang ABC,\, \ang C = \ang BCD,\, \ang D = \ang CDA \,$ ។ តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស និងលក្ខណៈនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន

$BD^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos A \,$

$\begin{align} BD^2 & = c^2 + d^2 -2cd \cos C \\ & = c^2 + d^2 +2cd \cos A \\ \end{align}$

(ព្រោះ $A+C = \pi \Rightarrow \cos C = \cos (\pi - A) = -\cos A \,$ )

ដោយបំបាត់ cos A ពីសមីការទាំងពីរខាងលើ យើងបាន

$(ab + cd)BD^2 = (ad + bc)(ac + bd) \,$

ដូចគ្នាដែរចំពោះអង្កត់ទ្រូង AC យើងបាន

$(ad + bc)AC^2 = (ab + cd)(ac + bd) \,$

ដោយគុណសមីការនៃអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរចូលគ្នា យើងបាន

$\begin{align} (ab + cd)(bc + ad)AC^2 \cdot BD^2 &= (ac + bd)^2(ad + bc)(ab + cd) \\ AC^2 \cdot BD^2 &=(ac + bd)^2 \\ AC \cdot BD &=ac + bd \\ \end{align}$