ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន គឺជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងរវាងរង្វាស់មេដ្យាននៃត្រីកោណនិងរង្វាស់ជ្រុងនិមួយៗរបស់វា។ ទ្រឹស្តីបទមេដ្យានជាករណីពិសេសរបស់ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស (Apollonius' theorem) ។

មាតិកា

១ ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន
២ បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ
៣ បំណកស្រាយម្យ៉ាងទៀត
៤ ទ្រឹស្តីបទទី៣នៃមេដ្យាន
៥ ទំរង់វ៉ិចទ័រនៃទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន
៦ លក្ខណៈទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន
៧ សូមមើលផងដែរ

[កែប្រែ] ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

គេមានត្រីកោណ ABC ដែល AI ជារង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A ។ គេបានទំនាក់ដូចខាងក្រោម:

$AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\,$ ឬ

$AB^2 + AC^2 = {1 \over 2} BC^2 + 2AI^2\,$

[កែប្រែ] បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ

លក្ខណៈនេះជាករណីធម្មតាដោយការកាត់បន្ថយនៃអនុគមន៍ស្តាលែរលេបនីស្ស (scalar function of Leibniz):

$AB^2 + AC^2 =(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB})^2 + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC})^2$

គេពន្លាត:

$AB^2+ AC^2 = AI^2 + IB^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB} + AI^2 + IC^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IC}$

ចំនុច I ជាចំនុចកណ្តាល [BC] ដូចនេះ $\overrightarrow{IB}$ និង $\overrightarrow{IC}$ មានទិសដៅផ្ទុយគ្នា និង $I C 2 = I B 2$ ដូច្នេះ

$AB^2+ AC^2 = 2AI^2 + 2IB^2 \,$

[កែប្រែ] បំណកស្រាយម្យ៉ាងទៀត

តាង H ជាចំណោលនៃកំពស់ត្រីកោណពីកំពូល A មកលើជ្រុង BC ចែកត្រីកោណ ABC ជាពីរត្រីកោណកែង BHA និង AHC ។ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករ គេបាន

$AB^2 = BH^2 + AH^2 \,$

$AC^2 = AH^2 + HC^2\,$

$AI^2 = IH^2 + AH^2\,$

ហេតុនេះ

$AB^2 + AC^2 = BH^2 + 2AH^2 + HC^2\,$

ដោយសំដែង BH និង HC ជាអនុគមន៍នៃ BI និង IH (ដែល I ជាចំនុចគណ្តាលនៃ BC និង BI=IC) ។ កត់សំគាល់ផងដែរចំពោះករណីពិសេស ជើង H នៃកំពស់គូសចេញពីកំពូល A មកលើអង្កត់ [BI] នៅចន្លោះ B និង I ប៉ុន្តែវាផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណី

$BH = BI - IH \,$

$HC = IC + IH = BI + IH\,$

ជំនួសចូលក្នុងកន្សោមខាងលើ គេបាន

$AB^2 + AC^2 = (BI-IH)^2 + 2AH^2 + (BI+IH)^2 \,$

$AB^2 + AC^2 = BI^2 - 2BI.IH+ IH^2 + 2AH^2 + BI^2 + 2BI.IH + IH^2\,$

$AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2IH^2 + 2AH^2 = 2BI^2 + 2(IH^2 + AH^2) \,$

ឬគេអាចថា

$IH^2 + AH^2 = AI^2\,$

ដោយជំនួសវាចូលក្នុងសមីការខាងលើគេបាន

$AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\,$

[កែប្រែ] ទ្រឹស្តីបទទី៣នៃមេដ្យាន

ជាមួយនឹងផលគុណស្កាលែរ: $AB^2 - AC^2 = 2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IH}$ ដែល H គឺជាចំណោលកែងនៃ A លើ (BC) ។

ដែលទំនាក់ទំនង $\left| AB^2 - AC^2 \right| = 2 BC \times IH$ (ទ្រឹស្តីបទទី៣នៃមេដ្យាន)។

តាមពិត: $AB^2 - AC^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AI}.(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) = 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{CB}$

ចំណោលនៃ $\overrightarrow{AI}$ លើ $\overrightarrow{BC}$ គឺ $\overrightarrow{HI}$ ដែល $\overrightarrow{AI}\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{HI}.\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IH}$ ។