ទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស

ទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស (Menelaus' theorem) ត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមតារាវិទូ និង គណិតវិទូជនជាតិក្រិចឈ្មោះ មេនេឡូសនៃអាឡិចសង់ឌ្រី (Menelaus of Alexandria)។ ទ្រឹស្តីនេះជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីត្រីកោណក្នុងប្លង់ធរណីមាត្រ។ គេអោយចំនុច A, B, C ដែលបង្កើតជាត្រីកោណ ABC និង ចំនុច D, E, F ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ (BC), (AC), (AB) នោះគេបាន D, E, F នៅលើបន្ទាត់តែមួយ(កូលីនេអ៊ែរ) លុះត្រាតែៈ

$\color{Mulberry}\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1$

ឬគេអាចសរសេរជា

${AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1$

បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ

គេមានបីចំនុច D, E, និង F នៅលើបន្ទាត់នៃជ្រុងរៀងគ្នា (BC), (AC) និង (AB) នៃត្រីកោណ ABC ។ $A' \,$ ជាចំនោលនៃ $A \,$ មកលើបន្ទាត់ (EF) ស្របនឹង (BC) ។ $A' \,$ ជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ (EF) ដែលស្របនឹង (BC) គូសចេញពីកំពូល A ។ តាមទ្រឹស្តីបទតាលែសចំពោះត្រីកោណ FBD និង EDC គេបានទំនាក់ទំនងជារង្វាស់ពិជគណិតដូចខាងក្រោមៈ

$\frac{\overline{FB}}{\overline{FA}} = \frac{\overline{BD}}{\overline{AA'}}$ និង $\frac{\overline{CD}}{\overline{AA'}} = \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}}$

គេអាចទាញបាន

$\frac{\overline{FB}}{\overline{FA} \times \overline{BD}} = \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}\times \overline{CD}} =\frac{1}{\overline{AA'}}$

វាស្មើនឹង

$\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1$

ច្រាស់មកវិញ បីចំនុច D E F ស្ថិតនៅរៀងគ្នាលើ (BC), (AC) និង (AB) នៃត្រីកោណ និង

$\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1$

ឧបមាថា (EF) ស្របនឹង(BC) ។ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទតាលែសចំពោះត្រីកោណ ABC គេបាន

$\frac{\overline{EA}}{\overline{EC}} = \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}$

តាមសម្មតិកម្ម បញ្ជាក់ថា $\frac{{\overline{DB}}}{{\overline{DC}}}=1$ នាំអោយ $\overline{DB} = \overline{DC}$ ។ គេបាន B=C ដែលមិនអាចទៅរួច គឺមិនពិត។

ដូចដែលបានបង្ហាញខាងលើ គេបាន

$\frac{\overline{XB}}{\overline{XC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FB}}{\overline{FA}} = 1$

និងតាមសម្មតិកម្ម គេបាន

$\frac{{\overline{DB}}}{{\overline{DC}}}=\frac{{\overline{XB}}}{{\overline{XC}}}$

នាំអោយ ចំនុច X=D (X ត្រួតស៊ីគ្នាលើ D) ។ ដូចនេះ D, E, F កូលីនេអ៊ែរនឹងគ្នា (នៅលើបន្ទាត់តែមួយ) ។

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា (Ceva's theorem)