ទ្រឹស្តីបទវ្យែត

ទ្រឹស្តីបទវ្យែត (Viète's Theorem) ឬ រូបមន្តវ្យែត (Viète's formulas) ឬ ទំនាក់ទំនងវ្យែត ឬ ទំនាក់ទំនងរវាងមេគុណនិងរឹស ឬ រូបមន្តវ្យែតសំរាប់រករឺស ត្រូវបាន​ដាក់​ឈ្មោះ​តាម​គណិតវិទូ​បារាំង លោក ហ្វ្រង់ស្វ័រ វ្យែត (François Viète) គឺជា​ទ្រឹស្តីបទ​ទំនាក់​ទំនង​រវាងមេគុណ​នៃ​ពហុធា​ទៅនឹង​ផលបូក និង ផលគុណ​នៃ​រឹស​របស់​ពហុធា​នោះ។

រូបមន្ត

ចំពោះពហុធាដែលមានដឺក្រេ $\ n \ge 1$

$p(X)=a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0$

(មេគុណអាចជាចំនួនពិត ឬ ចំនួនកុំផ្លិច និង $a_n \neq 0$ )

គឺជាទ្រឹស្តីបទគ្រឹះនៃពិជគណិត ដែលមាន n រឹសជាចំនួនកុំផ្លិច $\ x_1, x_2, \dots, x_n$ ។

ទ្រឹស្តីបទវ្យែតភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងមេគុណ $\ \{a_n\}$ ទៅនឹងផលបូកសញ្ញានៃរឹស $\ \lbrace x_i \rbrace$ សំដែងដូចខាងក្រោម

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n} \end{cases}$

ពំនោល​នេះ​សមមូល​នឹង​មេគុណ​$\ a_{n-k}$ ទី $\ (n-k)$ ដែលផ្តល់ទំនាក់ទំនងផលបូកនៃគ្រប់ផលបូករងនៃរឹសត្រូវបានជ្រើសរើស k ដង៖

$\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$

ចំពោះ $k=1, 2, \dots, n$ និមួយៗ​ (ដែល​យើង​អាច​សរសេរ​បង្ហាញ $\ {i_k}$ តាម​លំដាប់​កើន​ដើម្បី​អោយ​ផលបូករង​នៃ​រឹស​កាន់​តែ​ជាក់លាក់) ។

ឧទាហរណ៍

ចំពោះពហុធាដឺក្រេទី២

គេមានពហុធាដឺក្រេទី២ $\ f(x) = ax^2 + bx + c$ ។ តាង $\ x_1; x_2$ និង $\ x_3$ ជារឹសនៃសមីការ $\ f(x) = 0$ តាម​ទ្រឹស្តីបទផលគុណកត្តា (factor theorem) គេបាន

$\ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2$

ដោយប្រៀបធៀបមេគុណនៃពហុធាគេបាន

$\begin{cases} x_1 + x_2 = - \cfrac{b}{a} \\[7pt] x_1x_2 = \;\ \cfrac{c}{a} \end{cases}$

ចំពោះពហុធាដឺក្រេទី៣

ដូចគ្នាចំពោះពហុធាដឺក្រេទី៣នៃ x

$\ g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

ដែលមានរឹស $\ x_1; \quad x_2$ និង $\ x_3$ គេបាន

$\begin{cases} x_1 + x_2+ x_1 = - \cfrac{b}{a} \\[7pt] x_1 x_2 + x_2x_3 + x_3 x_1 = \;\ \cfrac{c}{a} \\[7pt] x_1x_2x_3 = - \cfrac{d}{a} \end{cases}$