ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

(ត្រូវបានបញ្ជូនបន្តពី ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស)

ទៅកាន់៖ ទិសដៅ, ស្វែងរក

នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (ឬច្បាប់ស៊ីនុស ឬរូបមន្តស៊ីនុស) ជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាអំពីត្រីកោណនៅក្នុងប្លង់។

មាតិកា

១ ទ្រឹស្តីបទ
២ សំរាយបញ្ជាក់
៣ បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស
៤ អនុវត្ត
៥ ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណមាត្រស្វ៊ែរ
៦ សូមមើលផងដែរ

[កែប្រែ] ទ្រឹស្តីបទ

ត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b, c, ក្រលាផ្ទៃ S រង្វង់ចារឹកក្រៅកាំ R និងមុំ A, B, C

គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b និង c និង A, B និង C ជាមុំឈមនៃជ្រុងទាំងនេះ(∠A=A, ∠B=B, ∠C=C) និង $R \,$ ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះគេបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសបង្ហាញដូចខាងក្រោម

$\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីគណនាជ្រុងនៃត្រីកោណដែលនៅសល់ ប្រសិនបើគេស្គាល់តំលៃនៃមុំ២ និងជ្រុងមួយ។ វាក៏អាចត្រូវបានគេប្រើបានដែល នៅគេស្គាល់ជ្រុងពីរ និងមុំមួយ។

$\begin{align} 2R = \frac{abc} {2S} & {} = \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \\ & {} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4) }} \end{align}$

ដែល $S \,$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ និង $p \,$ ជាកន្លះបរិមាត្រ។

$p = \frac{a+b+c} {2}$

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់

△ABC កំពស់ h គូសចេញពីកំពូល C

សំរាយបញ្ជាក់ $\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នា a, b, c និងមុំ A B C បង្ហាញដូចរូបខាងស្តាំ។ h ជាកំពស់គូសចេញពីកំពូល C មកជ្រុង AB ។ តាមនិយមន័យវាចែកត្រីកោណ ABC ជាពីរត្រីកោណកែង។ គេបាន

$\sin A = \frac{h}{b}$ និង $\sin B = \frac{h}{a}$

$\Rightarrow h = b\,(\sin A) = a\,(\sin B)$

$\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \,\,\, (1)$

ដូចគ្នាដែរចំពោះកំពស់គូសចេញពីកំពូល A មកជ្រុង BC នៃត្រីកោណ គេបាន

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \,\,\, (2)$

$(1) \,$ និង $(2) \,$ យើងបាន

$\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

សំរាយបញ្ជាក់ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} =\color{magenta}2R$

គេមានត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R និង $BC=a ,\quad \ang A=A$

(ក) - ករណី $0 < \ang A < \frac{\pi}{2}$ (មុំ A ជាមុំស្រួច)

ករណីមុំ A ជាមុំស្រួច

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ នោះចំនុច D គឺស្ថិតនៅលើរង្វង់ ។

នាំអោយ $BD = 2R \,$ (R ជាកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ)

ដោយយោងតាមទ្រឹស្តីបទមុំចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន

$\ang A = \ang D \,$ (មុំ A ស្មើមុំ D)

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ នោះគេបាន

${\rm BD} = 2R ,\$ និង $\ang {\rm BCD} = {\pi \over 2}\$

តាង $\ang {\rm BDC} = \ang D = D$ គេបាន

$\sin D = \frac{BC}{BD} = {a \over 2R} \qquad \Rightarrow \frac{a}{\sin D} = 2R$

ដោយមុំ D = A គេបាន ${a \over \sin A} = 2R$

តាមរយៈវិធីដូចគ្នាចំពោះផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន

${b \over \sin B} = 2R$

${c \over \sin C} = 2R$

ហេតុនេះ $\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R$

(ខ) - ករណី $\ang A = \frac{\pi}{2}$ (មុំ A ជាមុំកែង)

ករណីមុំ A = ៩០^០

មុំ A ជាមុំកែង គេបាន BC ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ

$BC = 2R = a \,$

$\Rightarrow \sin A = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = \frac{2R}{1} = 2R \qquad \color{blue} (i)$

ABC ជាត្រីកោណកែង គេបាន

$\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} = \frac{b}{2R} \qquad \frac{b}{\sin B} = 2R \qquad \color{blue} (ii)$

$\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a} = \frac{c}{2R} \qquad \frac{c}{\sin C} = 2R \qquad \color{blue} (iii)$

តាម $\color{blue} (i) \quad (ii)$ និង $\color{blue} \quad (iii)$ យើងបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស

$\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R$

(គ) - ករណី $\frac{\pi}{2} < \ang A <\pi$ (មុំ A ជាមុំទាល)

ករណីមុំ A ជាមុំទាល

ករណី BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ គេបានចំនុច D ស្ថិតនៅលើរង្វង់។ យោងតាមលក្ខណៈរង្វង់ចារឹកក្រៅចតុកោណ (=ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់)គេបាន

$A + D = \pi \qquad D = \pi - A \,$ (ដែល $A =\ang A,\quad D =\ang D \,$ )

$\Rightarrow \sin D = \sin (\pi - A) = \sin A$

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ

$\Rightarrow BD = 2R \,$

BCD ជាត្រីកោណកែងត្រង់ C គេបាន

$\sin A = \sin D = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R} \qquad \Rightarrow \frac{a}{\sin A} = 2R$

ធ្វើដូចគ្នាដែរចំពោះមុំផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

ហេតុនេះ $\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R$

សនិដ្ឋាន: ដូចនេះគេបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស $\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R$ ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណីទាំងបីខាងលើ។

[កែប្រែ] បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

$\begin{align}a&=BH+HC\\ &=AB\cdot \cos B + AC\cdot \cos C\\ &= {\color{blue}c\cos B + b\cos C} \\ \Rightarrow b&=a\cos C +c \cos A \\ \Rightarrow c&=a\cos B +b \cos A \end{align}$

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

$\begin{align}a^{2}&=b^{2}+c^{2}+2bc\cos{(B+C)} \\ &=b^{2}+c^{2}+2bc\cos{B}\cos{C}-2bc\sin{B}\sin{C} \\ &=(b\cos{C}+c\cos{B})^{2}+(b\sin{C}-c\sin{B})^{2} \\ &=a^{2}+(b\sin{C}-c\sin{B})^{2} \\ & \Rightarrow b\sin{C}-c\sin{B} = 0 \\ & \Longleftrightarrow \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}} \qquad \color{MidnightBlue} (i) \end{align}$

ដូចគ្នាដែរចំពោះ

$b^{2}=a^{2}+c^{2}+2ac\cos{(A+C)} \Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=\frac{c}{\sin{C}} \qquad \color{MidnightBlue} (ii)$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos{(A+B)} \Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}} \qquad \color{MidnightBlue} (iii)$

ដូចនេះ តាម $\color{MidnightBlue} (i), \quad (ii)$ និង $\color{MidnightBlue} (iii)$ គេបាន

$\color{magenta}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

[កែប្រែ] អនុវត្ត

គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b, c ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ។ ស្រាយបំភ្លឺថាៈ

$a \cos A + b \cos B + c \cos C = \frac{2S} {R}$

ដែល $S \,$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។

ដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសនៃត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \Rightarrow \begin{cases} a = 2Rsin A\\ b = 2Rsin B \\ c= 2Rsin C \\ \end{cases}$

យើងបាន:

$\begin{align} acos A + bcos B + ccos C &= 2Rsin Acos A + 2Rsin Bcos B + 2Rsin Ccos C \\ &=R( 2sin Acos A + 2sin Bcos B + 2sin Ccos C )\\ &=R( 2sin Acos A + sin 2B + sin 2C )\\ &=R[ 2sin Acos A + 2sin (B+C) cos(B-C) ]\\ &=R[ 2sin Acos A + 2sin A cos(B-C) ] \\ & (B+C = \pi - A \Rightarrow sin (B+C) = sin (\pi - A) = sin A)\\ &=2R sin A[cos (B-C) - cos(B+C) ] \\ & (A = \pi - (B+C) \Rightarrow cos A = cos [\pi - (B+C)] = -cos (B+C)\\ &=2Rsin A \cdot 2sin B sin C \\ &=4Rsin A \cdot sin B sin C \\ &=4R \cdot \frac{a} {2R} \cdot \frac{b} {2R} \cdot \frac{c} {2R} \\ &= \frac{abc} {2R^2} \,\,\,\, (1) \\ \end{align}$