បំលែងឡាប្លាស

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា បំលែងឡាប្លាស (Laplace transform) ជាបំលែងអាំងតេក្រាលដ៏ល្បីល្បាញមួយក្នុងចំនោមបំលែងជាច្រើន ដែលត្រួវបានគេប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ វាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់​ជាទូទៅដើម្បីធ្វើអោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា​ទៅជាសមីការពិជគណិត​ដែលងាយៗ​ដើម្បីសំរួល​ក្នុងដោះស្រាយ។ បំលែងឡាប្លាសត្រូវបានគេប្រើក្នុងការអនវត្តន៍សំខាន់ៗជាច្រើនក្នុង​គណិតវិទ្យា អុបទិក វិស្វកម្មអគិ្គសនី control engineering , signal processing និងួទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ក្នងគណិតវិទ្យា ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និង សមីការអាំងតេក្រាល។

ប្រវត្តិ

រូបភាព​លោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស​ក្នុងឆ្នាំ១៨៤២

បំលែងឡាប្លាសត្រូវដាក់ឈ្មោះដោយផ្តល់កិត្តិយល់ដល់គណិតវិទូ និង តារាវិទូជនជាតិបារាំងគឺលោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស (Pierre-Simon Laplace) ដែលបានប្រើប្រាស់​បំលែងនេះក្នុងកិច្ចការ​របស់គាត់ចំពោះទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ពីឆ្នាំ១៧៤៤ លេអុណាដ អឺលែរ (Leonhard Euler) បានធ្វើការសង្កេតទៅលើអាំងតេក្រាលដែលមានទំរង់៖

$z = \int X(x) e^{ax}\, dx \,$ និង $z = \int X(x) x^A \, dx$

និយមន័យ

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ f(t) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត t ≥ 0 គឺជាអនុគមន៍ F(s) កំនត់ដោយ៖

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty e^{-st} f(t) \,dt$

ដែល $\int_{0}^\infty e^{-st} f(t) \,dt$ ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលឡាប្លាស។

រូបមន្តគ្រឹះ

អនុគមន៍ដើម f(t)	បំលែងឡាប្លាស F(s)
$e^{at} f(t) \,$	$F(s-a) \,$
$f(at) \,$	$\frac{1}{a} F(\frac{s}{a}) ; \quad a > 0$
$f'(t) \,$	$sF(s) - f(0) \,$
$f''(t) \,$	$s^2 F(s) -sf(0) - f'(0) \,$
$t^kf(t) \,$	$(-1)^kF^{(k)}(s) \,$
$f*g \,$	$F(s)G(s) \quad ; \mathcal{L} [g(t)] = G(s)$
$1 \,$	$\frac{1}{s}$
$t \,$	$\frac{1}{s^2}$
$t^n \,$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at} \,$	$\frac{1}{s - a} \,$
$e^{at}t \,$	$\frac{1}{(s-a)^2}$
$\sin \omega t \,$	$\frac{\omega}{s^2 + {\omega}^2} \,$
$\cos \omega t \,$	$\frac{s}{s^2 + {\omega}^2}$
$\sinh \omega \,$	$\frac{\omega}{s^2 - {\omega}^2} \,$
$\cosh \omega t \,$	$\frac{s}{s^2 - {\omega}^2} \,$
$t \sin \omega t \,$	$\frac{2\omega s}{(s^2 + {\omega}^2)^2}$
$t \cos \omega t \,$	$\frac{s^2 - {\omega}^2}{(s^2 + {\omega}^2)^2}$
$e^{at} \sin \omega t \,$	$\frac{\omega}{(s - a)^2 + {\omega}^2}$
$e^{at} \cos \omega t \,$	$\frac{(s - a)}{(s - a)^2 + {\omega}^2}$

លក្ខណៈនិងទ្រឹស្តីបទ

គេមានអនុគមន៍ f(t) , g(t) និងបំលែងឡាប្លាសរបស់វារៀងគ្នា F(s) ,G(s):

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} , \qquad g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \}$

គេបានតារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាសដូចខាងក្រោម

តារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាស

	អនុគមន៍	បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍	សំគាល់​​​​​​​
លីនែអ៊ែរ	$a f(t) + b g(t) \$	$a F(s) + b G(s) \$	អាចទទួលបានដោយប្រើក្បូនគោលនៃអាំងតេក្រាល
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់	$t f(t) \$	$-F'(s) \$
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់	$t^{n} f(t) \$	$(-1)^{n} F^{(n)}(s) \$	ទំរង់ទូទៅ
ដេរីវេ	$f'(t) \$	$s F(s) - f(0^-) \$	ទទួលបានដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក
ដេរីវេទី២	$f''(t) \$	$s^2 F(s) - s f(0^-) - f'(0^-) \$
ដេរីវេទូទៅ	$f^{(n)}(t) \$	$s^n F(s) - s^{n - 1} f(0^-) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^-) \$
អាំងតេក្រាលប្រេកង់	$\frac{f(t)}{t} \$	$\int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \$
អាំងតេក្រាល	$\int_0^t f(\tau)\, d\tau = u(t) * f(t)$	${1 \over s} F(s)$	$u(t) \,$ ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ (Heaviside step function)។
Scaling	$f(at) \$	${1 \over |a|} F \left ( {s \over a} \right )$
	$e^{at} f(t) \$	$F(s - a) \$
	$f(t - a) u(t - a) \$	$e^{-as} F(s) \$	$u(t) \,$ ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ
	$(f * g)(t) \$	$F(s) \cdot G(s) \$
អនុគមន៍ខួប	$f(t) \$	${1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt$	$f(t) \,$ ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T ដែល$f(t) = f(t + T), \; \forall t\ge 0$

• ទ្រឹស្តីបទតំលៃដើម:

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}$

• ទ្រឹស្តីបទតំលៃចុងបំផុត:

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$,ប្រសិនបើគ្រប់ប៉ូលនៃ $sF(s)$ គឺស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដៃខាងឆ្វេង។

លក្ខណៈលីនេអ៊ែរ

$\mathcal{L}\left\{a f + b g \right\} = a\, \mathcal{L}\left\{ f \right\} + b\, \mathcal{L}\left\{ g \right\}$

ដេរីវេ

$\mathcal{L}\{f'\} = p \mathcal{L}\{f\} - f(0+)$

$\mathcal{L}\{f''\} = p^2 \mathcal{L}\{f\} - p f(0+) - f'(0+)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = p^n \mathcal{L}\{f\} - p^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(p)$

$\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_p^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

រូបមន្តទី៥អាចត្រូវបានបង្ហាញលក្ខណៈ

ចេញពីនិយមន័យនៃ $\mathcal\, F(\sigma)=\int_0^{\infty}e^{-pt}f(t)dt{\mid}_{p=\sigma} \,$

និង :$\mathcal\, \int_p^{\infty}F(\sigma)d{\sigma}=\int_0^{\infty}\int_p^{\infty}e^{-{\sigma}t}f(t)dtd{\sigma}\,$

$\mathcal\, \Longrightarrow \int_p^{\infty}F({\sigma})d{\sigma}=\int_0^{\infty}f(t)dt \cdot \int_p^{\infty}e^{-{\sigma}t}d{\sigma} \,$

ដោយការគណនាអាំងតេក្រាល

$\mathcal\, \int_p^{\infty}F(\sigma)d{\sigma}=\int_0^{\infty}f(t)dt \cdot (\frac{1}{t}e^{-pt}) \,$

ដែលជាបំលែងនៃ $\mathcal\, \frac{f(t)}{t} \,$ ដូច្នេះ $\mathcal\, \mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\} \,$

ដូច្នេះ :$\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_p^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

អាំងតេក្រាល

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\} = {1 \over p} \mathcal{L}\{f\}$

$\mathcal{L}\left\{ \int_a^t f(\tau) d\tau \right\} = {1 \over p} \mathcal{L}\{f\}+ {1 \over p}\int_a^0 f(\tau)d\tau$

តំលៃចុងក្រោយ

$\lim_{t \to +\infty} f(t)=\lim_{p \to 0} pF(p)$

តំលែដើម

$\lim_{t \to 0+} f(t)=\lim_{p \to +\infty} pF(p)$

Convolution

$\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-Tp}} \int_0^T e^{-pt} f(t)\,dt$

• គេអាចបង្ហាញរូបមន្តនៃលក្ខណៈដូចតទៅ៖

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-pt}f(t)dt{\mid}_{t=u}+\int_{T}^{2T}e^{-pt}f(t)dt{\mid}_{t=u+T}\int_{2T}^{3T}e^{-pt}f(t)dt{\mid}_{t=u+2T}+...\,$

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-pt}f(u)du+\int_{T}^{2T}e^{-p(u+T)}f(u+T)du+\int_{2T}^{3T}e^{-p(u+2T)}f(u+2T)du+...\,$

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+e^{-pT}\int_{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+e^{-2pT}\int_{0}^{T}e^{-pu}f(u)dT+...\,$

គេផ្តុំតួរនីមួយៗ:

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f(t)dt=(1+e^{-pT}+e^{-2pT}+...)\int_{0}^{T}e^{-pT}f(T)du{\mid}_{u=t} \,$

ដូចនេះ $\mathcal{L}\{ f \}={1 \over 1 - e^{-Tp}} \int_0^T e^{-pt} f(t)\,dt$

តារាងរូបមន្តសង្ខេបបំលែងឡាប្លាស

តារាងខាងក្រោមផ្តល់នូវរូបមន្តបំលែងឡាប្លាសទូទៅនៃអថេរមួយ។ ចំពោះនិយមន័យនិងសេចក្តីពន្យល់សូមមើលសំគាល់ផ្នែកខាងចុងនៃតារាង។

• បំលែងឡាប្លាសនៃផលបូកគឺជាផលបូកនៃបំលែងឡាប្លាសនៃតួរនិមួយៗ។

$\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

• បំលែងឡាប្លាសច្រើនដងនៃអនុគមន៍មួយគឺ​មានបំលែងឡាប្លាសជាចំនួនច្រើនដងនៃអនុគមន៍នោះ។

$\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}$

បំលែងឡាប្លាសតែឯងគឺពិតជាត្រឹមត្រូវនៅពែល t ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន ដែលគ្រប់អនុគមន៍ដើមក្នុងតារាងគឺជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយជាច្រើន u(t) ។

ID	ឈ្មោះអនុគមន៍	អនុគមន៍ដើម $x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$	បំលែងឡាប្លាស $X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$	causal systems
1	ideal delay	$\delta(t-\tau) \$	$e^{-\tau s} \$
1a	unit impulse	$\delta(t) \$	$1 \$	$\mathrm{all} \ s \,$
2	delayed nth power with frequency shift	$\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
2a	ស្វ័យគុណទី n ( ចំពោះចំនួនគត់ n )	${ t^n \over n! } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{n+1} }$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
2a.1	ស្វ័យគុណទី q (ចំនួនពិត q )	${ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{q+1} }$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
2a.2	អនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ	$u(t) \$	${ 1 \over s }$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
2b	delayed unit step	$u(t-\tau) \$	${ e^{-\tau s} \over s }$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
2c	ramp	$t \cdot u(t)\$	$\frac{1}{s^2}$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
2d	nth power with frequency shift	$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$\textrm{Re} \{ s \} > - \alpha \,$
2d.1	exponential decay	$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$	${ 1 \over s+\alpha }$	$\textrm{Re} \{ s \} > - \alpha \$
3	exponential approach	$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0\$
4	ស៊ីនុស	$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \$
5	កូស៊ីនុស	$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 + \omega^2 }$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \$
6	ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក	$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$	$\textrm{Re} \{ s \} > | \alpha | \$
7	កូស៊ីនុសអ៊ីពែលីក	$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 - \alpha^2 }$	$\textrm{Re} \{ s \} > | \alpha | \$
8	Exponentially-decaying sine wave	$e^{\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (s-\alpha )^2 + \omega^2 }$	$\textrm{Re} \{ s \} > \alpha \$
9	Exponentially-decaying cosine wave	$e^{\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s-\alpha \over (s-\alpha )^2 + \omega^2 }$	$\textrm{Re} \{ s \} > \alpha \$
10	រឺសទីn	$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
11	លោការីតធម្មជាតិ	$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$	$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
12	Bessel function of the first kind, of order n	$J_n( \omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$ $(n > -1) \,$
13	Modified Bessel function of the first kind, of order n	$I_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$	$\textrm{Re} \{ s \} > | \omega | \,$
14	Bessel function of the second kind, of order 0	$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$	$-{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}}$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
15	Modified Bessel function of the second kind, of order 0	$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$
16	Error function	$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$	${e^{s^2/4} \left(1 - \operatorname{erf} \left(s/2\right)\right) \over s}$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
សំគាល់: $u(t) \,$ តំណាងអោយអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ $\delta(t) \,$ តំណាងអោយ Dirac delta function $\Gamma (z) \,$ តំណាងអោយហ្គាំម៉ា $\gamma \,$ ជាថេរអឺលែរម៉ាសឆេរ៉ូនី $t \,$ ជាចំនួនពិតតំណាងអោយពេល (time) $s \,$ ជា[[ចំនួនកុំផ្លិច angular frequency និង$\textrm{Re} \{ s \}$ ជាផ្នែកពិត. $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$, និង $\omega \,$ ចំនួនពិត $n \,$ ជាចំនួនគត់