ប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់

ប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់

ចំនុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់(Line-plane intersection) អាចជាសំនុំទទេ ចំនុចមួយ ឬបន្ទាត់មួយ ។

ទំរង់ប៉ារ៉ាម៉ែត

បន្ទាត់មួយត្រូវរៀបរាប់ដោយគ្រប់ចំនុចដែលជាទិសដៅដែលផ្តល់ ពីចំនុចមួយ ។ ដូចនេះ បន្ទាត់អាចសំដែងរាងជា

$\mathbf{l}_a + (\mathbf{l}_b - \mathbf{l}_a)t, \quad t\in \mathbb{R}\,$

ដែល $\mathbf{l}_a=(x_a, y_a, z_a)$ និង $\mathbf{l}_b=(x_b, y_b, z_b)$ ជាចំនុចពីរផ្សេងគ្នានៅលើបន្ទាត់ ។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះប្លង់

$\mathbf{p}_0 + (\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0)u + (\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_0)v, \quad u,v\in\mathbb{R}$

ដែល $\mathbf{p}_k=(x_k,y_k,z_k)$, $k=0,1,2$ ជាបីចំនុចស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ហើកូលីនេអ៊ែ(ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ) ។

ចំនុចដែលជាប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់ ត្រូវគេរៀបរាប់ដោយដាក់សមីការបន្ទាត់ស្មើនឹងសមីការប្លង់ ក្នុងទំរង់ជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត

$\mathbf{l}_a + (\mathbf{l}_b - \mathbf{l}_a)t = \mathbf{p}_0 + (\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0)u + (\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_0)v$

វាអាចត្រូវគេសំរួលជា

$\mathbf{l}_a - \mathbf{p}_0 = (\mathbf{l}_a - \mathbf{l}_b)t + (\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0)u + (\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_0)v\,$

ដែលអាចដាក់ក្នុងទំរង់ម៉ាទ្រីស ជា

$\begin{bmatrix} x_a - x_0 \\ y_a - y_0 \\ z_a - z_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_a - x_b & x_1 - x_0 & x_2 - x_0 \\ y_a - y_b & y_1 - y_0 & y_2 - y_0 \\ z_a - z_b & z_1 - z_0 & z_2 - z_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ u \\ v \end{bmatrix}$

ចំនុចប្រសព្វគឺ

$\mathbf{l}_a + (\mathbf{l}_b - \mathbf{l}_a)t$

បើបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ នោះវ៉ិចទ័រ$\mathbf{l}_b - \mathbf{l}_a$, $\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0$ និង $\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_0$ ជាលីនេអ៊ែពឹងពាក់គ្នា ហើយម៉ាទ្រីសជាម៉ាទ្រីសទោល ។ ចំលើយនេះកើតឡើងក្នុងករណីបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ។

បើចំលើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $t \in [0,1],$ នោះចំនុចប្រសព្វស្ថិតនៅលើបន្ទាត់រវាង $\mathbf{l}_a$ និង $\mathbf{l}_b$ ។

បើចំលើយផ្ទៀងផ្ទាត់

$u,v \in [0,1], \;\;\; (u+v) \leq 1\,$

នោះចំនុចប្រសព្វស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ហើយស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណដែលបង្កើតដោយបីចំនុច

$\mathbf{p}_0$, $\mathbf{p}_1$ និង $\mathbf{p}_2$ ។

បញ្ហានេះជាទូទៅត្រូវគេដោះស្រាយដោយសំដែងវា ក្នុងទំរង់ម៉ាទ្រីស និង​ម៉ាទ្រីសច្រាស

$\begin{bmatrix} t \\ u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_a - x_b & x_1 - x_0 & x_2 - x_0 \\ y_a - y_b & y_1 - y_0 & y_2 - y_0 \\ z_a - z_b & z_1 - z_0 & z_2 - z_0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} x_a - x_0 \\ y_a - y_0 \\ z_a - z_0 \end{bmatrix}\,$

ទំរង់ពិជគណិត

សមីការប្លង់អាចត្រូវគេកំនត់ដោយ

$\mathbf{p}\cdot\mathbf{n}=d$

ដែល $\mathbf{p}=(x,y,z)$ ជាចំនុចមួយនៅលើប្លង់ ហើយ$\mathbf{n}$ ជាវ៉ិទ័រណរម៉ាល់នឹងប្លង់ ។ វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់អាចត្រូវរកឃើញដោយ

$(\mathbf{p}_1-\mathbf{p}_0) \times (\mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_0)$ and $d=\mathbf{p}_0\cdot\mathbf{n}$ ។

ដោយដាក់បញ្ចូលសមីការបន្ទាត់ វាអោយ

$(\mathbf{l}_a+t(\mathbf{l}_b-\mathbf{l}_a))\cdot\mathbf{n}=d\,$

និង

$t={-d-\mathbf{l}_a\cdot\mathbf{n} \over (\mathbf{l}_b-\mathbf{l}_a)\cdot\mathbf{n}}\,$ ។

ក្នុងរាងជាកូអរដោនេ បើ $\mathbf{n}=(a,b,c)$ នោះសមីការប្លង់សំដែងដោយ

$a x+b y+c z=d\,$

និង

$t={-d-a x_a - b y_a - c z_a \over a (x_b-x_a)+ b (y_b-y_a) + c(z_b-z_a)}\,$

បើទិសដៅនៃបន្ទាត់ $(\mathbf{l}_b-\mathbf{l}_a)$ កែងនឹងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ភាគបែងស្មើនឹងសូន្យ ។ បើ បន្ទាត់ស្ថិតក្នុងប្លង់ នោះទាំងភាគបែង និងភាគយកស្មើនឹងសូន្យ សមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់តំលៃនៃ t ។