ផលបូក រីម៉ាន

ក្នុង​គណិតវិទ្យា ផលបូក​រីម៉ាន (Riemann sum) គឺ​ជា​វិធីសាស្រ្ត​កំនត់​តំលៃ​ប្រហែល​នៃ​ក្រលាផ្ទៃ​សរុប​ខាងក្រោម​ខ្សែកោង​នៅ​លើ​ក្រាប។​ វាត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ ប៊ែនហាដ រីម៉ាន (Bernhard Riemann) ។

និយមន័យ

គេមាន​អនុគមន៍ $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ ជាប់លើចន្លោះ $\ I= [a,b]$ ។ គេចាត់ទុក $n\in\mathbb{N}^*$ និងបំនែកតូចៗ $x_k=a+k\frac{b-a}{n}$ ដែល $0\leq k\leq n$ ។

ផលបូករីម៉ាននៃ $\ f$ លើ $\ I$ កំនត់ដោយ

$S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^nf(x_k)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})f(x_k)$

ការអនុវត្តន៍

ផលបូករីម៉ាន​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​គណនា​អាំងតេក្រាល​ដោយវិធីសាស្រ្តចតុកោណកែង

$\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n=\int_a^bf(t)dt$

សំរាយបញ្ជាក់

តាម​និយមន័យ​អាំងតេក្រាល គេមាន

$(x_k-x_{k-1})f(x_k)=\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x_k)dt$ d'où $(x_k-x_{k-1})f(x_k)-\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(t).dt=\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x_k)-f(t)).dt$

ដោយធ្វើផលបូលចំពោះ $k\in\{1,\cdots,n\}$ គេទទួលបាន

$S_n-\int_a^bf(t)dt=\sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x_k)-f(t)).dt$

ដែល $|S_n-\int_a^bf(t)dt|\leq \sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}|f(x_k)-f(t)|dt$

គេមាន $\ \epsilon>0$ ។ តាមទ្រឹស្តីបទហៃនេ (Heine theorem) អនុគមន៍ $\ f$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $\ I=[a, b]$ មាន $\ \alpha>0$ ដែល

$\forall(x,t)\in[a,b]^2|x-t|\leq\alpha\Rightarrow |f(x)-f(t)|\leq\frac{\epsilon}{b-a}$

គេចាត់ទុកទំនាក់ទំនងចំពោះ n ធំគ្រប់គ្រាន់ ហេតុនេះ $\frac{b-a}{n}\leq\alpha$ ។

ដូចនេះ

$\forall t \in[x_{k-1};x_k] |x_k-t|\leq \frac{b-a}{n}\leq \alpha$

ដែល $|S_n-\int_a^bf(t)dt|\leq \int_a^b\frac{\epsilon}{b-a}=\epsilon$

ករណីពិសេស

$\lim_{n\to \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+\frac{(b-a)k}{n} \right)=\lim_{n\to \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+\frac{(b-a)k}{n} \right)=\int_a^bf(x)dx$