ពហុធាប៊ែរនូយី

ក្នុងគណិតវិទ្យា ពហុធាប៊ែរនូយី (Bernoulli polynomials) លេចឡើងក្នុងការសិក្សាផ្នែកជាច្រើននៃអនុគមន៍ និង ជាពិសេស​អនុគមន៍ហ្សេតារីម៉ាន (Riemann zeta function)​ ។

និយមន័យ

ពហុធា​ប៊ែរនូយីគឺជាស្វ៊ីតពហុធាតែមួយគត់ $\left( B_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ ដែល

• $B_0 = 1$
• $\forall n \in \mathbb{N} , B'_{n+1} = (n+1)B_n$
• $\forall n \in \mathbb{N^*} , \int_0 ^1 B_n (x) dx = 0$

អនុគមន៍តំនពូជ

អនុគមន៍តំនពូជ (Generating function) ចំពោះពហុធាប៊ែរនូយីគឺ

$\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\,$.

អនុគមន៍តំនពូជ (Generating function) ចំពោះពហុធាអយល័រ (Euler polynomials) គឺ

$\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty E_n(x) \frac{t^n}{n!}\,$.

ផលបូកនៃស្វ័យគុណទី p

យើងមាន

$\sum_{k=0}^{x} k^p = \frac{B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}$

ចំពោះសេចក្តីលំអិតអំពីរូបមន្តនេះ សូមមើល​រូបមន្តហ្វូលហាប័រ (Faulhaber's formula)

ចំនួនអយល័រ និង ចំនួនប៊ែរនូយី

• ចំនួនប៊ែរនូយី​អោយដោយ $B_n=B_n(0)\,$ ។
• ចំនួនអយល័រ​អោតយដោយ $E_n=2^nE_n(1/2)\,$ ។

កន្សោមអិចភ្លីស៊ីតចំពោះលំដាប់ទាប

ពហុធាប៊ែរនូយី​ដំបូង​មួយចំនួន

$B_0(x)=1\,$

$B_1(x)=x-1/2\,$

$B_2(x)=x^2-x+1/6\,$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\,$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\,$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\,$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\,$

ពហុធាអយល័រ​ដំបូង​មួយចំនួន

$E_0(x)=1\,$

$E_1(x)=x-1/2\,$

$E_2(x)=x^2-x\,$

$E_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{4}\,$

$E_4(x)=x^4-2x^3+x\,$

$E_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{2}x^2-\frac{1}{2}\,$

$E_6(x)=x^6-3x^5+5x^3-3x\,$

ផលសង

ពហុធាប៊ែរនូយី និង ពហុធាអយល័រ​គោរពតាមទំនាក់ទំនងជាច្រើនពី​ការការគណនានិមិត្តរូប (umbral calculus ឬ symbolic calculus)

$B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\,$

$E_n(x+1)+E_n(x)=2x^{n}\,$

ដេរីវេ

$B_n'(x)=nB_{n-1}(x)\,$

$E_n'(x)=nE_{n-1}(x)\,$

ការបកប្រែ

$B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k}\,$

$E_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} E_k(x) y^{n-k}\,$

ស៊ីមេទ្រី

$B_n(1-x)=(-1)^n B_n(x)\,$

$E_n(1-x)=(-1)^n E_n(x)\,$

$(-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}\,$

$(-1)^n E_n(-x) = -E_n(x) + 2x^n\,$

លក្ខណៈផ្សេងទៀតនៃពហុធាប៊ែរនូយី

$\forall n \in \mathbb{N}, B_n (x) =2^{n-1} \left( B_n \left( \frac{x}{2} \right) + B_n \left( \frac{x+1}{2} \right) \right)$

តំលៃពិសេស

$\forall n > 1, B_n (0) =B_n (1)$

$\forall p \in \mathbb{N}^{*}, B_{2p+1} (0) = B_{2p+1}(1)=0$

$\forall p \in \mathbb{N}^{*}, B_{2p} \left( \frac {1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2^{2p-1}} -1 \right)B_{2p} (0) , B_{2p+1} \left( \frac {1}{2} \right)=0$

ស៊េរីហ្វួរា

ស៊េរីហ្វួរា (Fourier series) នៃពហុធាប៊ែរនូយី​ក៏ជា​ស៊េរីឌីរិចឡេ​​អោយដោយការពន្លាត

$B_n(x) = -\frac{n!}{(2\pi i)^n}\sum_{k\not=0 }\frac{e^{2\pi ikx}}{k^n}$

នេះជាករណីពិសេសនៃទំរង់អាណាឡូក (analogous form) ចំពោះ​អនុគមន៍ហ្សេតាហឺវីត (Hurwitz zeta function)

$B_n(x) = -\Gamma(n+1) \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{(2\pi ikx)}+ e^{(2\pi ik(1-x))}}{(2\pi ik)^n}\,$

ការពន្លាតនេះគឺត្រឹមត្រូវតែចំពោះ 0 ≤ x ≤ 1 ដែល n ≥ 2 និងត្រឹមត្រូវចំពោះ 0 < x < 1ដែល n = 1 ។

ស៊េរីហ្វួរា​នៃ​ពហុធាអយល័រ​​អាចគណនាបានផងដែរ ។ កំនត់អនុគមន៍

$C_\nu(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac {\cos((2k+1)\pi x)} {(2k+1)^\nu}$

និង

$S_\nu(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac {\sin((2k+1)\pi x)} {(2k+1)^\nu}$

ចំពោះ $\ \nu > 1$ ពហុធាអយល័រ​មានស៊េរីហ្វួរា

$C_{2n}(x) = \frac{(-1)^n}{4(2n-1)!} \pi^{2n} E_{2n-1} (x)$

និង

$S_{2n+1}(x) = \frac{(-1)^n}{4(2n)!} \pi^{2n+1} E_{2n} (x)$

សំគាល់ថា $\ C_\nu$ និង $\ S_\nu$ គឺអនុគមន៍សេស​និងគូរៀងគ្នា

$\ C_\nu(x) = -C_\nu(1-x)$

និង

$\ S_\nu(x) = S_\nu(1-x)$

អនុគមន៍ទាំងនេះមានទំនាក់ទំនងនឹង​អនុគមន៍ឈីឡឺហ្សង់ (Legendre chi function) $\ \chi_\nu$ ជា

$\ C_\nu(x) = \mbox{Re} \chi_\nu (e^{ix})$

និង

$\ S_\nu(x) = \mbox{Im} \chi_\nu (e^{ix}).$

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ (Multiplication theorems) ត្រូវបានផ្តល់អោយដោយ Joseph Ludwig Raabe ក្នុងឆ្នាំ ១៨៥១

$B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)$

$E_n(mx)= m^n \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k E_n \left(x+\frac{k}{m}\right)$    ចំពោះ $m=1,3,\dots$

$E_n(mx)= \frac{-2}{n+1} m^n \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k B_{n+1} \left(x+\frac{k}{m}\right)$    ចំពោះ $m=2,4,\dots$

អាំងតេក្រាល

អាំងតេក្រាលមិនកំនត់

$\int_a^x B_n(t)\,dt = \frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}$

$\int_a^x E_n(t)\,dt = \frac{E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}$

អាំងតេក្រាលកំនត់

$\int_0^1 B_n(t) B_m(t)\,dt = (-1)^{n-1} \frac{m! n!}{(m+n)!} B_{n+m} \quad \mbox { for } m,n \ge 1$

$\int_0^1 E_n(t) E_m(t)\,dt = (-1)^{n} 4 (2^{m+n+2}-1)\frac{m! n!}{(m+n+2)!} B_{n+m+2}$