មធ្យមស្តូឡារស្គី

មធ្យមស្តូឡារស្គីនៃ២ចំនួនពិតវិជ្ជាមាន $x,y \;$ កំនត់ដោយ៖

$\begin{matrix} S_p(x,y) &=& \lim_{(\xi,\eta)\to(x,y)} \left({\frac{\xi^p-\eta^p}{p (\xi-\eta)}}\right)^{1\over p-1} \\ &=& \begin{cases} x & \mbox{if }x=y \\ \left({\frac{x^p-y^p}{p (x-y)}}\right)^{1\over p-1} & \mbox{else} \end{cases} \end{matrix}$.

វាត្រូវបានទាញចេញពី ទ្រឹស្ដីបទតំលៃកណ្ដាល ដែលចែងថាកំនាត់បន្ទាត់ដែលកាត់ក្រាបអនុគមន៍អាចធ្វើដេរីវេ $f \;$ ត្រង់ $( x, f(x) ) \;$ និង $( y, f(y) ) \;$ មានមេគុណប្រាប់ទិសដូចគ្នានឹងបន្ទាត់ប៉ះក្រាបត្រង់ចំនុចណាមួយ $\xi$ នៅលើចន្លោះ$[x,y]$។

$\exists \xi\in[x,y]\ , f'(\xi) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y}$

មធ្យមស្តូឡារស្គីបានដោយ

$\xi = f'^{-1}\left(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right)$

ពេលគេយក $f(x) = x^p$។

ករណីពិសេស

• $\lim_{p\to -\infty} S_p(x,y)$ ជាតំលៃអប្បបរមា។
• $S_{-1}(x,y) \;$ ជាមធ្យមធរណីមាត្រ។
• $\lim_{p\to 0} S_p(x,y)$ ជាមធ្យមលោការីត។ គេអាចទាញវាពីទ្រឹស្ដីបទតំលៃកណ្ដាល​ ដោយយក $f(x) = \ln x \;$
• $S_{\frac{1}{2}}(x,y)$ ជាមធ្យមស្វ័យគុណ ដែលមាននិទស្សន្ត $\frac{1}{2}$។
• $\lim_{p\to 1} S_p(x,y)$ ជាមធ្យមអ៊ីដង់ទ្រិច។ គេអាចទាញវាចេញពីទ្រឹស្ដីបទតំលៃកណ្ដាល ដោយយក $f(x) = x\cdot \ln x$។
• $S_2(x,y)$ ជាមធ្យមនព្វន្ឋ។
• $S_3(x,y) = QM(x,y,GM(x,y)) \;$ ជាទំនាក់ទំនងរវាងមធ្យមកាដ្រាទិច និង មធ្យមធរណីមាត្រ។
• $\lim_{p\to\infty} S_p(x,y)$ ជាតំលៃអតិបរមា។

ជាទូទៅ

គេអាចអោយនិយមន័យជាទូទៅនៃមធ្យមស្តូឡារស្គី ចំពោះអថេរ $n+1$ ដូចតទៅ៖

$S_p(x_0,\dots,x_n) = {f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_0,\dots,x_n])$ ចំពោះ $f(x)=x^p \;$.