មេដ្យាន

មេដ្យាននៃត្រីកោណនិងទីប្រជុំទំងន់

ក្នុងធរណីមាត្រ មេដ្យាននៃត្រីកោណ​គឺជាអង្កត់ដែលភ្ជាប់ពី​​កំពូលនៃត្រីកោណទៅកាន់ចំនុចកណ្តាល​នៃជ្រុងឈមនឹងកំពូលនោះ។ ក្នុងត្រីកោណនីមួយៗតែងតែមានមេដ្យានបី ដែលមេដ្យាន​នីមួយៗគូសចេញពីកំពូលកាន់ជ្រុងឈមហើយកាត់ជ្រុងឈមនោះ​ត្រង់ចំនុចកណ្តាល។

ចំនុចប្រសព្វនៃមេដ្យានទាំងបី

មេដ្យានទាំងបីនៃត្រីកោណជួបគ្នាត្រង់ចំនុចមួយហៅថា​ទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ។ កត់សំគាល់ថា​ទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ​គឺស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុង​ត្រីកោណជានិច្ច។ ពីរភាគបីនៃរង្វាស់មេដ្យាន​នីមួយៗគឺជារង្វាស់រវាងកំពូលនិងទីប្រជុំទំងន់ ដែលមួយភាគបីគឺជារង្វាស់ពីទីប្រជុំទំងន់ទៅចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុងឈម។

ការចែកក្រលាផ្ទៃស្មើគ្នា

មេដ្យានទាំងបីចែកត្រីកោណជា៦​ត្រីកោណដែលមានក្រលាផ្ទៃស្មើៗគ្នា។ បន្ទាត់ដែលចែកក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាពីរស្មើគ្នា គឺមិនកាត់តាមទីប្រជុំទំងន់ទេ។

សំរាយបញ្ជាក់

គេមានត្រីកោណ ABC ។ តាង D ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង AB តាង E ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង BC តាង F ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង AC និងតាង O ជាទីប្រជុំទំងន់។

ត្រីកោណ ABC មានទីប្រជុំទំងន់ O

តាមនិមយន័យ $AD = DB,AF = FC,BE = EC \,$

ហេតុនេះ $S_{ADO} = S_{BDO}, S_{AFO} = S_{CFO}, S_{BEO} = S_{CEO} \,$

ដែល $S_{ABC} \,$ តំណាងអោយក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។

យើងបាន

$S_{ABO} = S_{ABE} - S_{BEO} \,$

$S_{ACO} = S_{ACE} - S_{CEO} \,$

ហេតុនេះ

$S_{ABO} = S_{ACO} \,$ និង $S_{ADO}=S_{DBO} , S_{ADO}=\frac{1}{2}S_{ABO}$

ដោយ $S_{AFO}=S_{FCO}, S_{AFO}= \frac{1}{2}S_{ACO}=\frac{1}{2}S_{ABO}=S_{ADO}$

គេបាន $S_{AFO} = S_{FCO} = S_{ADO} = S_{DBO} \,$

ដោយប្រើវិធីដូចគ្នា យើងអាចបង្ហាញថា $S_{AFO} = S_{FCO} = S_{ADO} = S_{DBO} = S_{BEO} = S_{CEO} \,$

រូបមន្តគណនារង្វាស់មេដ្យាន

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទស្តេអាត (Stewart's theorem) ចំពោះត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a b និង c (ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងលើ) ; $m_a \,$ រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A ទៅកាន់ជ្រុង BC ; $m_b \,$ រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល B ទៅកាន់ជ្រុង AC និង $m_c \,$ រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល C ទៅកាន់ជ្រុង AB ($m_a = AD ; \quad m_b = BE ; \quad m_c = CF ; \quad a = BC ; \quad b = AC ; \quad c = AB\,$ ) យើងបានទំនាក់ទំនងរវាង $m_a \,$ និង រង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណសំដែងដោយ

$4m_a^2+a^2=2(b^2+c^2) \,$

$\Rightarrow m_a = AD = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }$

ដូចគ្នាដែរចំពោះមេដ្យានគូសចេញពីកំពូលផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណ

$\Rightarrow m_b = BE = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}{4} }$

$\Rightarrow m_c = CF = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} }$

គណនាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាអនុគមន៍នៃរង្វាស់មេដ្យាន

មេដ្យាន $AA_1 \,$ នៃត្រីកោណ ABC គឺគូសចេញពីកំពូល $A \,$ ទៅកាន់ចំនុចកណ្តាល $A_1 \,$ នៃជ្រុងឈមនៃកំពូល A ។ មេដ្យាន​ទាំងបី​ជួបគ្នា​ត្រង់ចំនុចមួយ G ហៅថាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ ABC ។ G ក៏អាចហៅថាបារីសង់នៃត្រីកោណ ABC ផងដែរ។ ចំនុច G ជាទ្រីលីនែអ៊ែ (ចំនុចធៀបនៃចំងាយរវាងជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណនិងចំនុចនោះ)​ ដែល $\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c} \,$  (a, b, និង c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណ ABC) ។ លើសពីនេះទៅទៀត មេដ្យាននៃត្រីកោណមួយចែកជាមេដ្យានមួយទៀត (មេដ្យាននៃត្រីកោណមេដ្យាន) ដោយផលធៀប ២:១

$AG:GA_1 = BG:GB_1 = CG:GC_1 = 2 : 1\,$

តាង $m_a , \quad m_b , \quad m_c \,$ ជារង្វាស់រៀងគ្នានៃមេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A B និង C ។ គេបាន

$\begin{cases} &m^2_a = \frac{1}{4}(2 b^2 + 2 c^2 - a^2) \\ &m^2_b = \frac{1}{4}(2 a^2 + 2 c^2 - b^2) \\ &m^2_c = \frac{1}{4}(2 a^2 + 2 b^2 - c^2)\end{cases}$

$\Rightarrow m^2_a + m^2_b + m^2_c = \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$

តាង $p_m = \frac{1}{2}(m_a + m_b + m_c)$

គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

$\color{RoyalBlue}S_{ABC} = \frac{3}{4} \sqrt{p_m(p_m - m_a)(p_m - m_b)(p_m - m_c)}$

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន
• កំពស់ត្រីកោណ
• ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា (Ceva's theorem)