រូបមន្តញូតុន-កូត្ស

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស ឬ ក្បួនញូតុន-កូត្សគឺជាក្រុមរូបមន្តសំរាប់គណនាអាំងតេក្រាលលេខ។ រូបមន្តយកឈ្មោះតាមលោក អ៊ីសាក់ ញូតុន និង រ៉ូចឺ កូត្ស (Roger Cotes) ។

អនុគមន៍ f ស្គាល់ត្រង់ចំនុចមានចន្លោះស្មើៗគ្នា $\ x_i$ ចំពោះ $\ i=0; 1; 2; \cdots ; n$ ។ រូបមន្តញូតុន-កូត្សចំពោះដឺក្រេ n កំនត់ដោយ

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i\, f(x_i)$

ដែល $\ x_i=ih+x_0$ ; $\ h = \frac{x_n-x_0}{n}$ (ប្រវែងជំហាន ឬ ប្រវែងចន្លោះអង្កត់) និង $\ w_i$ ជាទំនង់។ ទំងន់ $\ w_i$ អាចត្រូវបានគេទាញចេញពីពហុធាឡាហ្ក្រង់គ្រឹះ (Lagrange basis polynomials) ។ វាអាស្រ័យតែនឹង $\ x_i$ និងមិនអាស្រ័យនឹងអនុគមន៍ $\ f$ ។ តាងអាំងទែប៉ូឡាស្យុងឡាហ្ក្រង់ដោយ $\ L(x)$ ចំពោះចំនុច $\ (x_0, f(x_0) ), \cdots \ (x_n, f(x_n) )$ នោះគេបាន

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b L(x)\,dx = \int_a^b \sum_{i=0}^n f(x_i)\, l_i(x)\, dx$

$=\sum_{i=0}^n \int_a^b f(x_i) l_i(x) dx=\sum_{i=0}^n f(x_i) \underbrace{ \int_a^b l_i(x) dx}_{w_i}$

រូបមន្តញូតុន-កូត្សប្រភេទបិទដែលមានដឺក្រេ n ត្រូវបានគេពោលថា

$\int_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n-1} w_i\, f(x_i)$

មាតិកា

១ រូបមន្តញូតុន-កូត្សប្រភេទបិទ
២ រូបមន្តញូតុន-កូត្សប្រភេទបើក
៣ សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្ត
- ៣.១ អនុវត្តន៍ចំពោះ
៤ តំនភ្ជាប់ក្រៅ

[កែប្រែ] រូបមន្តញូតុន-កូត្សប្រភេទបិទ

**រូបមន្តញូតុន-កូត្សប្រភេទបិទ**
ដឺក្រេ	ឈ្មោះ	រូបមន្ត	តួអ៊ែររឺ
1	ក្បួនចតុកោណព្នាយ	$\frac{h}{2} (f_0 + f_1)$	$-\frac{h^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)$
2	ក្បួនស៊ីម្ពសុន (Simpson's rule)	$\frac{h}{3} (f_0 + 4 f_1 + f_2)$	$-\frac{h^5}{90}\,f^{(4)}(\xi)$
3	ក្បួនស៊ីម្ពសុន 3/8	$\frac{3h}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3)$	$-\frac{3h^5}{80}\,f^{(4)}(\xi)$
4	ក្បួនបូដ	$\frac{2h}{45} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4)$	$-\frac{8h^7}{945}\,f^{(6)}(\xi)$

សំគាល់៖ $\ f_i$ គឺជាទំរង់បំព្រួញនៃ $\ f(x_i)$ ។

[កែប្រែ] រូបមន្តញូតុន-កូត្សប្រភេទបើក

**រូបមន្តញូតុន-កូត្សប្រភេទបើក**
ដឺក្រេ	ឈ្មោះ	រូបមន្ត	តួអ៊ែររឺ
0	ក្បួនចតុកោណកែង	$2 h f_1\,$	$\frac{h^3}{24}\,f^{(2)}(\xi)$
1	គ្មានឈ្មោះ	$\frac{3h}{2} (f_1 + f_2)$	$\frac{h^3}{4}\,f^{(2)}(\xi)$
2	គ្មានឈ្មោះ	$\frac{4h}{3} (2 f_1 - f_2 + 2 f_3)$	$\frac{28h^5}{90}f^{(4)}(\xi)$
3	គ្មានឈ្មោះ	$\frac{5h}{24} (11 f_1 + f_2 + f_3 + 11 f_4)$	$\frac{95h^5}{144}f^{(4)}(\xi)$

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្ត

ពហុធាឡាហ្ក្រង់ $L(x)\,$ នៃ $f\,$ កំនត់ដោយ៖

$L(x)=v_n(x) \sum_{i=0}^n \frac{y_i}{(x-x_i)v'_n(x_i)}$

ដែល $v_n(x)=\prod^{n}_{j=0}(x-x_j)$ ។

ហេតុនេះ

$w_i=\int_a^b \frac{v_n(x)}{(x-x_i)v'_n(x_i)}dx$

ដោយប្តូរអថេរ $y=\frac{x-a}{h}$ គេបាន

$w_i= \frac{b-a}{n}\frac{(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!} \int_0^n \prod_{k=0,k \ne i}^n (y - k)dy$

[កែប្រែ] អនុវត្តន៍ចំពោះ $n = 1\,$

$\begin{matrix} w_0 &=& h \frac{(-1)^{1-0}}{0!(1-0)!} \int_0^1 \prod_{k=0,k \ne 0}^1 (y - k)dy \\ &=& -h \int_0^1(y-1)dy \\ &=& -h \left[ \frac{(y-1)^2}{2} \right]^1_0 \\ &=& \frac{h}{2} \end{matrix}$
ដូចខាងលើដែរចំពោះ $w_1 = \frac{h}{2}$

[កែប្រែ] តំនភ្ជាប់ក្រៅ

រូបមន្តញូតុន-កូត្សនៃគេហទំព័រ Math-Linux.com
រូបមន្តញូតុន-កូត្សនៅ MathWorld

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

មាតិកា

[កែប្រែ] រូបមន្តញូតុន-កូត្សប្រភេទបិទ

[កែប្រែ] រូបមន្តញូតុន-កូត្សប្រភេទបើក

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្ត

[កែប្រែ] អនុវត្តន៍ចំពោះ $n = 1\,$

[កែប្រែ] តំនភ្ជាប់ក្រៅ

ការមើល

ឧបករណ៍ផ្ទាល់ខ្លួន

ស្វែងរក

ទិសដៅ

សហគមន៍

ប្រអប់ឧបករណ៍

ជាភាសាដទៃទៀត

រូបមន្តញូតុន-កូត្ស

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

មាតិកា

[កែប្រែ] រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ប្រភេទបិទ

[កែប្រែ] រូបមន្តញូតុន-កូត្ស​ប្រភេទបើក

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់​រូបមន្ត

[កែប្រែ] អនុវត្តន៍ចំពោះ

[កែប្រែ] តំនភ្ជាប់ក្រៅ

ការមើល

ឧបករណ៍ផ្ទាល់ខ្លួន

ស្វែងរក

ទិសដៅ

សហគមន៍

ប្រអប់​ឧបករណ៍

ជាភាសាដទៃទៀត

[កែប្រែ] រូបមន្តញូតុន-កូត្សប្រភេទបិទ

[កែប្រែ] រូបមន្តញូតុន-កូត្សប្រភេទបើក

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្ត

[កែប្រែ] អនុវត្តន៍ចំពោះ $n = 1\,$

ប្រអប់ឧបករណ៍