រូបមន្ត​ដឺម័រ

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

(ត្រូវបានបញ្ជូនបន្តពី រូបមន្តដឺម័រ)
ទៅកាន់៖ ទិសដៅ, ស្វែងរក

រូបមន្តដឺម័រ (De Moivre's formula) ត្រូវបានគេហៅដោយយកតាមឈ្មោះរបស់លោក អាប្រាហាម ដឺ ម័រ (Abraham de Moivre) ដែលជាជនជាតិបារាំង ដោយបានចែងថាចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច (និងជាពិសេសចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត) x និង គ្រប់ចំនួនគត់ n គេបាន

\color{blue} \left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right)\,

រូបមន្តនេះមានសារៈសំខាន់ពីព្រោះវាភ្ជាប់ចំនួនកុំផ្លិច (i តំណាងអោយឯកតានិម្មិត) និង ត្រីកោណមាត្រ ។ កន្សោម \cos x + i\sin x \, គឺជួនការត្រូវបានគេសរសេរកាត់ជា cis x \, ។


មាតិកា

[កែប្រែ] ការទាញយករូបមន្តដឺម័រ

រូមមន្តដឺម័រអាចត្រូវបានទាញចេញដោយងាយដោយប្រើរូបមន្តអយល័រ

e^{ix} = \cos x + i\sin x\,

និងតាមទ្រឹស្តីបទអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} \, ។

តាមរូបមន្តអយល័រ គេបាន

e^{i(nx)} = \cos(nx) + i\sin(nx) \, ។

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្ត

គេមាន x\in\mathbb{R}

យើងសិក្សា៣ករណី

(១). ករណី n>0 \, យើងបកស្រាយប្រើវិចារកំនើន។ នៅពេល n = 1 \, លទ្ធផលគឺពិតជាត្រឹមត្រូវ។ តាមសម្មតិកម្ម យើងសន្មតថាលទ្ធផល​គឺពិតចំពោះ​គ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន k \, គឺថា

\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right) \,

យើងបាន

  • ចំពោះ n=1 ; \quad \Rightarrow (\cos x + i \sin x)^1 = \cos (1 \cdot x) + i \sin (1 \cdot x) \qquad \,     ពិត
  • ចំពោះ n=2 \,;
    \begin{align} \Rightarrow (\cos x + i \sin x)^2 &= \cos^2 x -\sin^2 x + 2i \cos x \sin x \\ &=\cos (2 \cdot x) + i \sin (2 \cdot x) \qquad \\ \end{align}
    សមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះ n = 2 ដែរ
  • ឧបមាថាវាពិតដល់ n=k+1 \; គេបាន


\begin{alignat}{2} \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) &&\qquad \\ & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\ & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] &&\qquad \end{alignat}

យើងសន្និដ្ឋានថាលទ្ធផលពិតចំពោះ n = k + 1 \, នៅពេលដែល n = k \, ។ តាមគោលការណ៍វិចារកំនើនគណិតវិទ្យា លទ្ធផលពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន n \ge 1 \,

(២). ករណី n = 0 \, រូបមន្តពិតព្រោះ \cos (0x) + i\sin (0x) = 1 + i0 = 1 \,, គេអាចសន្មត z0 = 1 ។

(៣). ករណី n < 0 \, យើងសន្មតមានចំនួនពិតវិជ្ជមាន m \, ដែល n = -m \, ។ ដូចនេះ

\begin{align} \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\ & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\ & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\ & = \cos\left(mx\right) - i\sin\left(mx\right)\\ & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\ & = \cos\left(nx\right) + i\sin\left(nx\right) \end{align}

ដូចនេះរូបមន្តពិតចំពោះគ្រប់តំលៃជាចំនួនគត់នៃ n ។

[កែប្រែ] លក្ខណៈទូទៅ

ប្រសិនបើ z និង w' គឺជាចំនួនកុំផ្លិច នោះគេបាន

\left(\cos z + i\sin z\right)^w

គឺជាអនុគមន៍មានតំលៃច្រើន ដែល

\cos (wz) + i \sin (wz)\,

មិនមែន។ ដូចនេះគេអាចពោលថា

\cos (wz) + i \sin (wz) \,   គឺជាតំលៃមួយនៃ   \left(\cos z + i\sin z\right)^w \,
គំនូសមនៅលើ ប្លង់កុំផ្លិចនៃរឹសគូបនៃ១

[កែប្រែ] អនុវត្ត

រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីរករឹសទី n នៃចំនួនកុំផ្លិច។ ប្រសិនបើ z ជាចំនួនកុំផ្លិច សរសេរក្នុងទំរង់ប៉ូលែរជា

z=r\left(\cos x+i\sin x\right) \,

គេបាន

z^{{}^{\frac{1}{n}}}= \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^ {{}^{\frac{1}{n}}}= r^{{}^{\frac{1}{n}}} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]

ដែល k ជាចំនួនគត់។ ដើម្បីទទួល n រឹសផ្សេងៗគ្នានៃ z ចាំបាច់ត្រូវការអោយតំលៃនៃ k ពី 0 ដល់ n-1 ។

[កែប្រែ] សូមមើលផងដែរ

បានមកវិញពី "http://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%9A%E1%9E%BC%E1%9E%94%E1%9E%98%E1%9E%93%E1%9F%92%E1%9E%8F%E2%80%8B%E1%9E%8A%E1%9E%BA%E1%9E%98%E1%9F%90%E1%9E%9A"
ឧបករណ៍ផ្ទាល់ខ្លួន