រូបមន្តដឺម័រ

រូបមន្តដឺម័រ (De Moivre's formula) ត្រូវបានគេហៅដោយយកតាមឈ្មោះរបស់លោក អាប្រាហាម ដឺ ម័រ (Abraham de Moivre) ដែលជាជនជាតិបារាំង ដោយបានចែងថាចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច (និងជាពិសេសចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត) x និង គ្រប់ចំនួនគត់ n គេបាន

$\color{blue} \left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right)\,$

រូបមន្តនេះមានសារៈសំខាន់ពីព្រោះវាភ្ជាប់ចំនួនកុំផ្លិច (i តំណាងអោយឯកតានិម្មិត) និង ត្រីកោណមាត្រ ។ កន្សោម $\cos x + i\sin x \,$ គឺជួនការត្រូវបានគេសរសេរកាត់ជា $cis x \,$ ។

ការទាញយករូបមន្តដឺម័រ

រូមមន្តដឺម័រអាចត្រូវបានទាញចេញដោយងាយដោយប្រើរូបមន្តអយល័រ

$e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$

និងតាមទ្រឹស្តីបទអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

$\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} \,$ ។

តាមរូបមន្តអយល័រ គេបាន

$e^{i(nx)} = \cos(nx) + i\sin(nx) \,$ ។

សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្ត

គេមាន $x\in\mathbb{R}$

យើងសិក្សា៣ករណី

(១). ករណី $n>0 \,$ យើងបកស្រាយប្រើវិចារកំនើន។ នៅពេល $n = 1 \,$ លទ្ធផលគឺពិតជាត្រឹមត្រូវ។ តាមសម្មតិកម្ម យើងសន្មតថាលទ្ធផល​គឺពិតចំពោះ​គ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន $k \,$ គឺថា

$\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right) \,$

យើងបាន

• ចំពោះ $n=1 ; \quad \Rightarrow (\cos x + i \sin x)^1 = \cos (1 \cdot x) + i \sin (1 \cdot x) \qquad \,$    ពិត
• ចំពោះ $n=2 \,;$
  $\begin{align} \Rightarrow (\cos x + i \sin x)^2 &= \cos^2 x -\sin^2 x + 2i \cos x \sin x \\ &=\cos (2 \cdot x) + i \sin (2 \cdot x) \qquad \\ \end{align}$
  សមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះ n = 2 ដែរ

• ឧបមាថាវាពិតដល់ $n=k+1 \;$ គេបាន

$\begin{alignat}{2} \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) &&\qquad \\ & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\ & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] &&\qquad \end{alignat}$

យើងសន្និដ្ឋានថាលទ្ធផលពិតចំពោះ $n = k + 1 \,$ នៅពេលដែល $n = k \,$ ។ តាមគោលការណ៍វិចារកំនើនគណិតវិទ្យា លទ្ធផលពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n \ge 1 \,$

(២). ករណី $n = 0 \,$ រូបមន្តពិតព្រោះ $\cos (0x) + i\sin (0x) = 1 + i0 = 1 \,$, គេអាចសន្មត $z^0 = 1$ ។

(៣). ករណី $n < 0 \,$ យើងសន្មតមានចំនួនពិតវិជ្ជមាន $m \,$ ដែល $n = -m \,$ ។ ដូចនេះ

$\begin{align} \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\ & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\ & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\ & = \cos\left(mx\right) - i\sin\left(mx\right)\\ & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\ & = \cos\left(nx\right) + i\sin\left(nx\right) \end{align}$

ដូចនេះរូបមន្តពិតចំពោះគ្រប់តំលៃជាចំនួនគត់នៃ n ។

លក្ខណៈទូទៅ

ប្រសិនបើ z និង w' គឺជាចំនួនកុំផ្លិច នោះគេបាន

$\left(\cos z + i\sin z\right)^w$

គឺជាអនុគមន៍មានតំលៃច្រើន ដែល

$\cos (wz) + i \sin (wz)\,$

មិនមែន។ ដូចនេះគេអាចពោលថា

$\cos (wz) + i \sin (wz) \,$   គឺជាតំលៃមួយនៃ   $\left(\cos z + i\sin z\right)^w \,$

គំនូសមនៅលើ ប្លង់កុំផ្លិចនៃរឹសគូបនៃ១

អនុវត្ត

រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីរករឹសទី n នៃចំនួនកុំផ្លិច។ ប្រសិនបើ z ជាចំនួនកុំផ្លិច សរសេរក្នុងទំរង់ប៉ូលែរជា

$z=r\left(\cos x+i\sin x\right) \,$

គេបាន

$z^{{}^{\frac{1}{n}}}= \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^ {{}^{\frac{1}{n}}}= r^{{}^{\frac{1}{n}}} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]$

ដែល k ជាចំនួនគត់។ ដើម្បីទទួល n រឹសផ្សេងៗគ្នានៃ z ចាំបាច់ត្រូវការអោយតំលៃនៃ k ពី 0 ដល់ n-1 ។

សូមមើលផងដែរ

• រូបមន្តអយល័រ (Euler's formula)
• ចំនួនកុំផ្លិច