រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា

ក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula) ជារូបមន្តសំរាប់រកក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណមួយចំនួន​ ដែលគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុង និង មុំមួយចំនួននៃចតុកោណនោះ។ ក្នុងទំរង់​ទូទៅរបស់វា រូបមន្តនេះអាចរកក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។

ទំរង់គ្រឹះ

ទំរង់គ្រឹះ​និងងាយចង់ចាំរបស់វាគឺថា រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា​អាចអោយយើង​កំនត់បាននូវ​ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់​ដែលជ្រុងមានរង្វាស់ជ្រុង a b c និង d ។ ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណនេះកំនត់ដោយៈ

$\color{RoyalBlue} S= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

ដែល p គឺជាកន្លះបរិមាត្រនៃចតុកោណ កំនត់ដោយ

$p=\frac{a+b+c+d}{2}$

រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តហេរុងចំពោះក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ ។ នៅពេលដែល d = 0 គេបានរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាក្លាយជារូបមន្តហេរុង។

ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់​គឺអាចមានតំលៃអតិបរមា​ចំពោះចតុកោណមួយចំនួនដែលគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងរបស់វា។

ករណីពិសេស

• ចំពោះការ៉េ : $b=c=d=a,\quad p=2a \qquad{\color{Blue}\Rightarrow}\quad S = \sqrt{a^4} = a^2\,$
• ចំពោះចតុកោណកែង : $a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l) \qquad{\color{Blue}\Rightarrow}\quad S = \sqrt{L^2\cdot l^2} = L\cdot l\,$

បំណកស្រាយរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា

ដ្យាក្រាមជាសំអាង

ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ = ក្រលាផ្ទៃនៃ $\triangle ADB$ + ក្រលាផ្ទៃនៃ $\triangle BDC$

$= \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin C$

ប៉ុន្តែដោយសារ $ABCD$ ជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន $\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB$ ហេតុនេះ $\sin A = \sin C$ ដូច្នេះ

$S = \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin A$

$S^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (ab + cd)^2$

$4S^2 = (1 - \cos^2 A)(ab + cd)^2 \,$

$4S^2 = (ab + cd)^2 - cos^2 A (ab + cd)^2 \,$

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសចំពោះ $\triangle ADB$ និង $\triangle BDC$ រួចសរសេរសមីការជាកន្សោមចំពោះជ្រុង $DB \,$ យើងបាន

$a^2 + b^2 - 2ab\cos A = c^2 + d^2 - 2cd\cos C \,$

ដោយជំនួស $\cos C = -\cos A \,$ (ពីព្រោះមុំ $A$ និង មុំ $C$ ជាមុំបំពេញគ្នា) រួចផ្តុំវាឡើង យើងបាន

$2\cos A (ab + cd) = a^2 + b^2 - c^2 - d^2 \,$

ជំនួសវាក្នុងសមីការក្រលាផ្ទៃ យើងបាន

$4S^2 = (ab + cd)^2 - \frac{1}{4}(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2$

$16S^2 = 4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 \,$

តាមរូបមន្ត $a^2-b^2=(a+b)(a-b) \,$ គេបាន

$(2(ab + cd) + a^2 + b^2 -c^2 - d^2)(2(ab + cd) - a^2 - b^2 + c^2 +d^2) \,$

$= ( (a+b)^2 - (c-d)^2 )( (c+d)^2 - (a-b)^2 ) \,$

$= (a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a) \,$

តាង $p = \frac{a+b+c+d}{2}$ (ជាកន្លះបរិមាត្រនៃចតុកោណ ABCD) យើងបាន

$16S^2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) \,$

ដោយបំបាត់ការ៉េ ដោយបំពាក់រឹសការ៉េ យើងបានរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាដូចខាងក្រោម

$\color{magenta} S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាចំពោះចតុកោណមិនចារឹកក្នុងរង្វង់

ក្នុងករណីចតុកោណមិនចារឹក្នុងរង្វង់ទេ រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាអាចត្រូវបានបន្លាយ​ដោយវាស់មុំឈមគ្នាពីរនៃចតុកោណ៖

$S= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\theta}$

ដែល $\theta \,$ ជាកន្លះផលបូកនៃមុំឈមទាំងពីរ។ (គូនៃមុំគឺមិនទាក់ទងគ្នាទេ ប្រសិនបើមុំពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានយក ហើយកន្លះផលបូករបស់វាជាមុំបំពេញនៃ $\theta \,$ ។ ពីព្រោះ $\cos (180^\circ - \theta) = -\cos \theta \,$ គេបាន $\cos^2(180^\circ - \theta) = \cos^2 \theta \,$

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេស្គាល់ជាទូទៅថាជារូបមន្តប្រេតស៍ឆ្នេឌើ (Bretschneider's formula) ដោយយោងតាមគេហទំព័រ_MathWorld រូបមន្តប្រេតស៍ឆ្នេឌឺត្រូវបានគេសរសេរជា

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+mn)(ac+bd-mn)}\,$

ដែល m និង n ជារង្វាស់អង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណ។

វាជាលក្ខណៈនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ (និងទីបំផុតជាមុំចារឹកក្នុងរង្វង់) ដែលផលបូកមុំឈមនៃចតុកោណស្មើនឹង ១៨០° ។ ហេតុដូចនេះ ក្នុងករណីចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ $\theta = 90^\circ \,$ ដូចនេះ

$abcd\cos^2\theta=abcd\cos^2 \left(90^\circ\right)=abcd\cdot0=0 \,$

ផ្តល់នូវទំរង់គ្រឹះនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា។

ទ្រឹស្តីបទពាក់ព័ន្ធ

ក្នុងករណីដែល d = 0 រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាក្លាយជារូបមន្តហេរុង ដែលជារូបមន្តសំរាប់គណនាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ។

ទំនាក់ទំនងរវាងទំរង់ទូទៅ និង ទំរង់បន្លាយ​នៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា គឺមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងរបៀបដែល​ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស​បន្លាយជា​ទ្រឹស្តីបទពីតាករ។