រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា

ក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula) ជារូបមន្តសំរាប់រកក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណមួយចំនួន​ ដែលគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុង និង មុំមួយចំនួននៃចតុកោណនោះ។ ក្នុងទំរង់​ទូទៅរបស់វា រូបមន្តនេះអាចរកក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។

ទំរង់គ្រឹះ

ទំរង់គ្រឹះ​និងងាយចង់ចាំរបស់វាគឺថា រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា​អាចអោយយើង​កំនត់បាននូវ​ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់​ដែលជ្រុងមានរង្វាស់ជ្រុង a b c និង d ។ ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណនេះកំនត់ដោយៈ

$\color {RoyalBlue}S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$

ដែល p គឺជាកន្លះបរិមាត្រនៃចតុកោណ កំនត់ដោយ

$p={\frac {a+b+c+d}{2}}$

រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តហេរុងចំពោះក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ ។ នៅពេលដែល d = 0 គេបានរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាក្លាយជារូបមន្តហេរុង។

ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់​គឺអាចមានតំលៃអតិបរមា​ចំពោះចតុកោណមួយចំនួនដែលគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងរបស់វា។

ករណីពិសេស

• ចំពោះការ៉េ : $b=c=d=a,\quad p=2a\qquad {\color {Blue}\Rightarrow }\quad S={\sqrt {a^{4}}}=a^{2}\,$
• ចំពោះចតុកោណកែង : $a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l)\qquad {\color {Blue}\Rightarrow }\quad S={\sqrt {L^{2}\cdot l^{2}}}=L\cdot l\,$

បំណកស្រាយរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា

ដ្យាក្រាមជាសំអាង

ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ = ក្រលាផ្ទៃនៃ $\triangle ADB$ + ក្រលាផ្ទៃនៃ $\triangle BDC$

$={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C$

ប៉ុន្តែដោយសារ $ABCD$ ជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន $\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB$ ហេតុនេះ $\sin A=\sin C$ ដូច្នេះ

$S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A$

$S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab+cd)^{2}$

$4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}\,$

$4S^{2}=(ab+cd)^{2}-cos^{2}A(ab+cd)^{2}\,$

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសចំពោះ $\triangle ADB$ និង $\triangle BDC$ រួចសរសេរសមីការជាកន្សោមចំពោះជ្រុង $DB\,$ យើងបាន

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C\,$

ដោយជំនួស $\cos C=-\cos A\,$ (ពីព្រោះមុំ $A$ និង មុំ $C$ ជាមុំបំពេញគ្នា) រួចផ្តុំវាឡើង យើងបាន

$2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\,$

ជំនួសវាក្នុងសមីការក្រលាផ្ទៃ យើងបាន

$4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}$

$16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\,$

តាមរូបមន្ត $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,$ គេបាន

$(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})\,$

$=((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})\,$

$=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)\,$

តាង $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$ (ជាកន្លះបរិមាត្រនៃចតុកោណ ABCD) យើងបាន

$16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\,$

ដោយបំបាត់ការ៉េ ដោយបំពាក់រឹសការ៉េ យើងបានរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាដូចខាងក្រោម

$\color {magenta}S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$

រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាចំពោះចតុកោណមិនចារឹកក្នុងរង្វង់

ក្នុងករណីចតុកោណមិនចារឹក្នុងរង្វង់ទេ រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាអាចត្រូវបានបន្លាយ​ដោយវាស់មុំឈមគ្នាពីរនៃចតុកោណ៖

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}$

ដែល $\theta \,$ ជាកន្លះផលបូកនៃមុំឈមទាំងពីរ។ (គូនៃមុំគឺមិនទាក់ទងគ្នាទេ ប្រសិនបើមុំពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានយក ហើយកន្លះផលបូករបស់វាជាមុំបំពេញនៃ $\theta \,$ ។ ពីព្រោះ $\cos(180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta \,$ គេបាន $\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta \,$

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេស្គាល់ជាទូទៅថាជារូបមន្តប្រេតស៍ឆ្នេឌើ (Bretschneider's formula) ដោយយោងតាមគេហទំព័រ_MathWorld រូបមន្តប្រេតស៍ឆ្នេឌឺត្រូវបានគេសរសេរជា

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+mn)(ac+bd-mn)}}\,$

ដែល m និង n ជារង្វាស់អង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណ។

វាជាលក្ខណៈនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ (និងទីបំផុតជាមុំចារឹកក្នុងរង្វង់) ដែលផលបូកមុំឈមនៃចតុកោណស្មើនឹង ១៨០° ។ ហេតុដូចនេះ ក្នុងករណីចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ $\theta =90^{\circ }\,$ ដូចនេះ

$abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0\,$

ផ្តល់នូវទំរង់គ្រឹះនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា។

ទ្រឹស្តីបទពាក់ព័ន្ធ

ក្នុងករណីដែល d = 0 រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាក្លាយជារូបមន្តហេរុង ដែលជារូបមន្តសំរាប់គណនាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ។

ទំនាក់ទំនងរវាងទំរង់ទូទៅ និង ទំរង់បន្លាយ​នៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា គឺមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងរបៀបដែល​ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស​បន្លាយជា​ទ្រឹស្តីបទពីតាករ។