រូបមន្តហេរុង

ត្រីកោណដែលមានប្រវែងជ្រុង a b និង c ។

រូបមន្តហេរុង (Heron's formula) ជារូបមន្តសំរាប់រកក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ នៅពេលដែលគេស្គាល់ប្រវែងជ្រុងទាំង៣នៃត្រីកោណនោះ។ នៅក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តហេរុងចែងថាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានជ្រុងរៀងគ្នា a, b និង c គឺកំនត់ដោយរូបមន្ត

$\color{blue} S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

ដែល p ជាប្រវែងកន្លះបរិមាត្រនៃត្រីកោណកំនត់ដោយរូបមន្ត

$p=\frac{a+b+c}{2}$ ។

ដោយមិនប្រើអក្សរ p រូបមន្តហេរុងអាចសរសេរ

$S={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}$

$S={\ \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\,}\ \over 4}$

$S={\ \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}\ \over 4}$

សំរាយបញ្ជាក់

រូបមន្តហេរុងអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយប្រើ ផលធៀបត្រីកោណមាត្រ ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស និងការដាក់ជាផលគុណកក្តា។

គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានប្រវែងជ្រុងរៀងគ្នា a b c និងមុំឈមនៃជ្រុងនិមួយៗ A B C ហើយនិង h ជាកំពស់គូសពីកំពូល A មកជ្រុង BC។ តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

និងទំនាក់ទំនង

$\sin C = \sqrt{1-\cos^2C}$

នោះគេបានក្រលាផ្ទៃ S នៃត្រីកោណABC ស្មើនឹង

$\begin{align} S&=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2C}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)}\\ &=\frac12ab\sqrt{\left(1-\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)\left(1+\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)}\\ &=\frac14\sqrt{\left((a+b)^2-c^2\right)\left(c^2-(a-b)^2\right)}\\ &=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}\\ \end{align}$

គេទទួលបាន​រូបមន្ត​ហេរុង​ដោយជំនួស $\ a = 2p-b-c\,$ គេបាន

$\color{blue} S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

លក្ខណៈទូទៅ

រូបមន្តហេរុងជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula ) ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹក្នុងរង្វង់។ រូបមន្តទាំងពីរសុទ្ធជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ។ ក្នុងករណីទាំងពីរនេះ គេទទួលបានរូបមន្តហេរុងដោយកំនត់អោយរង្វាស់ជ្រុងណាមួយនៃចតុកោណស្មើសូន្យ។

រូបមន្តហេរុងក៏ជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណព្នាយផងដែរ។ គេទទួលរូបមន្តហេរុង​ពីករណីដោយកំនត់អោយ​រង្វាស់ជ្រុងស្របដែលខ្លីអោយស្មើសូន្យ។

រូបមន្តហេរុង​សំដែង​ដោយ​ដេទែមីណង់​រឹសការ៉េនៃ​ចំងាយ​រវាង​កំពូល​ដែល​ផ្តល់​អោយ​ទាំងបី​ដូចខាងក្រោម

$S = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} }$

រូបមន្តហេរុងចំពោះតេត្រាអែត

បើ $U,\, V,\, W,\, u,\, v,\, w$ ជាប្រវែងនៃជ្រុងនៃតេត្រាអែត (បីដំបូង​បង្កើតបានត្រីកោណមួយ ; $u\,$ ឈមនឹង $U\,$ ហើយ​បង្កើតបានដូចនេះជាបន្តបន្ទាប់.........)

$V = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}$

ដែល

$V\,$ ជាមាឌតេត្រាអែត

$a = \sqrt {xYZ}$

$b = \sqrt {yZX}$

$c = \sqrt {zXY}$

$d = \sqrt {xyz}$

$X = (w - U + v)\,(U + v + w)$

$x = (U - v + w)\,(v - w + U)$

$Y = (u - V + w)\,(V + w + u)$

$y = (V - w + u)\,(w - u + V)$

$Z = (v - W + u)\,(W + u + v)$

$z = (W - u + v)\,(u - v + W)$