វិសមភាពនេស្ប៉ីត

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា វិសមភាពនេស្ប៉ីត (Nesbitt's inequality) គឺជាករណីពិសេសនៃវិសមភាពសាពីរ៉ូ (Shapiro inequality)។ វិសមភាពនេះចែងថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត a, b និង c យើងបាន

$\color{blue} \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$

សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់ទី១

ចាប់ផ្តើមចេញពីវិសមភាពនេស្ប៉ីត (1903)

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$

យើងបំលែងអង្គខាងធ្វេង

$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\geq\frac{3}{2}$ ។

ឥឡូវវាអាចបំលែងជា

$((a+b)+(a+c)+(b+c))\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\geq 9$ ។

ដោយវានឹង៣ ហើយកត្តាអង្គខាងស្តាំក្លាយជា៖

$\frac{(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+c}}$ ។

ឥឡូវនៅអង្គខាងធ្វេងយើងមានមធ្យមនព្វន្ឋ និងនៅអង្គខាងស្តាំយើងមានមធ្យមអាម៉ូនិក។ ដូច្នេះវិសមភាពនេះគឺពិតជាត្រឹមត្រូវ។

យើងក៏អាចចង់សាកល្បងប្រើប្រាស់ GM ចំពោះអញ្ញតិបីបានផងដែរ។

សំរាយបញ្ជាក់ទី២

ឧបមា $a \ge b \ge c$ យើងបាន

$\frac 1 {b+c} \ge \frac 1 {a+c} \ge \frac 1 {a+b}$

អាចកំនត់បាន

$\vec x = (a, b, c)$

$\vec y = (\frac 1 {b+c} , \frac 1 {a+c} , \frac 1 {a+b})$

ផលគុណស្កាលែរនៃតៗគ្នានៃពីរវ៉ិចទ៍រគឺមានតំលៃអតិប្បរមា ដោយសារតែវិសមភាពតំរៀបឡើងវិញ (Rearrangement inequality)។ ប្រសិនបើពួកវាត្រូវបានគេំរៀបតាមវិធីដូចគ្នា ហៅថា $\vec y_1$ និង $\vec y_2$ វ៉ិចទ័រ $\vec y$ នោះគេបាន

$\vec x \cdot \vec y \ge \vec x \cdot \vec y_1$

$\vec x \cdot \vec y \ge \vec x \cdot \vec y_2$

ដូវច្នេះគេបានវិសមភាពនេស្ប៉ីត។

សំរាយបញ្ជាក់ទី៣

សញ្ញាណខាងក្រោមគឺពិតចំពោះគ្រប់ $a, b ,c \,$

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \left(\frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a-c)^2}{(a+b)(b+c)}+\frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)}\right)$

សញ្ញាណនេះបញ្ជាក់ឃើញថាអង្គខាងធ្វេងគឺមិនតូចជាង $\frac{3}{2}$ ទេចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន a, b, និង c ។

សំរាយបញ្ជាក់ទី4

យើងអាចឧបមាថា $a\leq b\leq c$ នោះគេបាន $b+c\geq c+a\geq a+b$ ដូចនេះគេបាន:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3(a+b+c)}{b+c+c+a+a+b}=\frac{3}{2}$

សំរាយបញ្ជាក់ទី5

យើងមានៈ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\biggl(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}+\frac{a+b}{c+a}+\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\biggl)\geq \frac{6}{2}=3$

យើងទាញបានៈ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$