វិសមភាព វេតស្សឹនបុក

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា វិសមភាពវេតស្សឹនបុក(Weitzenböck's inequality)និយាយចំពោះជ្រុង$a$, $b$, $c$ និង​ផ្ទៃ$\Delta$ នៃត្រីកោណមួយ។​ វិសមភាពសំដែងដោយ​៖

$a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}\, \Delta\,$

សមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែ ត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស​។

សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់នៃវិសមភាពនេះ គឺត្រូវបានដាក់ជាសំនួរនៅក្នុងគណិតវិទ្យាអូឡាំព្យាឆ្នាំ១៩៦១។ លទ្ធផលគឺមិនពិបាកណាស់ណាទេ ដោយប្រើរូបមន្តហេរុងចំពោះផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយ។

$\begin{align} \Delta & {} = \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4} \\ & {} = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)} \end{align}$

វិធីសាស្រ្តទី១

$\begin{align} {} & (a^2 - b^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 + (c^2 - a^2)^2 \geq 0 \\ {} \iff & 2(a^4+b^4+c^4) - 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2) \geq 0 \\ {} \iff & \frac{4(a^4+b^4+c^4)}{3} \geq \frac{4(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{3} \\ {} \iff & \frac{(a^4+b^4+c^4) + 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{3} \geq 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4) \\ {} \iff & \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3} \geq (4\Delta)^2 \end{align}$

លទ្ធផលទទួលបានដោយគ្រាន់តែបំពាក់ឫសការេលើអង្គទាំង២ ។ ចំពោះវិសមភាពទី១ យើងឃើញថា សមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល $a = b = c$ ហើយត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស។

វិធីសាស្រ្តទី២

$\begin{align} & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & ab+bc+ca \\ \iff & & 3(a^2 + b^2 + c^2) & \geq & & (a + b + c)^2 \\ \iff & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & \sqrt{3 (a+b+c)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3} \\ \iff & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & \sqrt{3 (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\ \iff & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & 4 \sqrt3 \Delta \end{align}$

សមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល a = b = c ហើយត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស។