សមីការកូស៊ី-អយល័រ

ក្នុងគណិតវិទ្យា សមីការកូស៊ី-អយល័រ ឬ សមីការអយល័រ-កូស៊ី គឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរអូម៉ូសែនដែលមានមេគុណជាអថេរ​។

សមីការ

តាង $\ y^{(n)}(x)$ គឺជាដេរីវេទី n នៃអនុគមន៍មិនស្គាល់ $\ y(x)$ ។ នោះសមីការកូស៊ី-អយល័រលំដាប់ n មានរាង

$x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0$

ដោយជំនួស $\ x = e^u$ ដើម្បី​បន្ថយ​ស្វ័យគុណ​នៃសមីការ​នេះទៅជា​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ​ដែលមាន​មេគុណ​ជាចំនួនថេរ។

លំដាប់២

$x^2\frac{d^2y}{dx^2} + ax\frac{dy}{dx} + by = 0 \,$

យើងសន្មតតាង

$y = x^m \,$

ដោយធ្វើដេរីវេ (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល) យើងបាន

$\frac{dy}{dx} = mx^{m-1} \,$

និង

$\frac{d^2y}{dx^2} = m(m-1)x^{m-2} \,$

ជំនួសវាចូលក្នុងសមីការដើម យើងបាន

$x^2( m(m-1)x^{m-2} ) + ax( mx^{m-1} ) + b( x^m ) = 0 \,$

តំរៀបឡើងវិញ យើងបាន

$m^2 + (a-1)m + b = 0 \,$

យើងអាចដោះស្រាយសមីការនេះចំពោះ m ។​ មានបីករណីពិសេស

1. ករណីទី១៖ ឫសពីរផ្សេងគ្នា $\ m_1$ និង $\ m_2$
2. ករណីទី២៖ ឫសឌុប $\ m$
3. ករណីទី៣៖ ឫសជាចំនួនកុំផ្លិច $\ \alpha \pm i\beta$

• ករណីទី១៖​ ចំលើយផ្តល់អោយដោយ

$y = c_{1}x^{m_{1}} + c_{2}x^{m_{2}} \,$

• ករណីទី២៖ ចំលើយផ្តល់អោយដោយ

$y = c_{1}x^{m}\ln(x) + c_{2}x^{m} \,$

• ករណីទី៣៖ ចំលើយផ្តល់អោយដោយ

$y = c_{1}x^{\alpha}\cos(\beta \ln(x)) + c_{2}x^{\alpha}\sin(\beta \ln(x)) \,$

សមីការនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយជាមួយនឹងបំលែង $\ x = e^t$ ។

ឧទាហរណ៍

គេអោយសមីការ

$x^2u''-3xu'+3u=0\,$

យើងជំនួសចំលើយងាយ $\ x^{\alpha}$

$x^2(\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2})-3x(\alpha(x^{\alpha-1}))+3(x^\alpha)=\alpha(\alpha-1)x^\alpha-3\alpha x^\alpha+3x^\alpha\,$

$= (\alpha(\alpha-1)-3\alpha+3)x^\alpha \,$

យើងបាន $\ \alpha = 1$ និង $\ \alpha = 3$ ។ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ

$u=Ax+Bx^3\,$