សមីការដឺក្រេទី២

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

ឧទាហរណ៍បង្ហាញពីកំនត់សំគាល់សមីការដឺក្រេទី២ ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត

a x 2 + b x + c

ក្នុងគណិតវិទ្យា សមីការដឺក្រេទី២ ជាសមីការពហុធាដឺក្រេទី២។ ទំរង់ទូទៅនៃសមីការដឺក្រេទី២មានរាង

$ax^2+bx+c=0\,\!$

តួ a b និង c ហៅថាមេគុណ: មេគុណដឺក្រេទី២ a ជាមេគុណនៃ $\ x^2$ ។ មេគុណលីនេអ៊ែរ b ជាមេគុណនៃ x ចំនែកឯ c វិញជាមេគុណថេរ។ a b និង c ត្រូវបានគេហៅថាតួថេរ។

[កែប្រែ] រូបមន្តរកឫសនៃសមីការដឺក្រេទី២

សមីការដឺក្រេទី២ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត ឬចំនួនកុំផ្លិច មានឫសពីរអាចជាចំនួនពិតកំណត់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

ដែលសញ្ញាបូកដក± តំណាងអោយ

$x_+ = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad$ និង $\quad\ x_- = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

[កែប្រែ] រាងកាណូនិក និងឌីសគ្រីមីណង់ Δ

ឧទាហរណ៍សញ្ញានៃឌីសគ្រីមីណង់
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងសរសេរ យើងតាង $f(x) = ax^2 + bx + c \,$ នោះគេបានរាងនៃសមីការដឺក្រេទី២ដោយដាក់ $f(x) = 0 \,$ ។

$\begin{align}f(x) &= a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \\ &= a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right] \\ &= a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right] \\ &= a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right)\right] \end{align}$

គេហៅរាងនៃសមីការដែលបង្ហាញខាងលើនេះថាជារាងកាណូនិក។

ក្នុងសមីការដឺក្រេទីពីរ $b^2 - 4ac \,\!$ ត្រូវបានគេតាងដោយតួអក្សរ $\Delta \,\!$ (ដែលតា)

សមីការដឺក្រេទី២ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត អាចមានឫសឌុប ឬឫសពីរផ្សេងគ្នា ឬក៏មានរឹសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនកុំផ្លិច។ ក្នុងករណីនេះឌីសគ្រីមីណង់ជាអ្នកកំណត់ចំនួន និងលក្ខណៈនៃរឹស។ មានលក្ខ័ណ្ឌបី៖

ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ជាចំនួនវិជ្ជមាន $(\Delta > 0 )\,\!$ នោះសមីការមានរឹសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនពិត។

$\begin{align} f(x) &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]\\ &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]\\ &=a \left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \\ &= a\left(x + \frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \end{align}$

ពេល $f(x)=0 \,$ រឹសទាំងពីរ $x_1 \,$ និង $x_2 \,$ នៃសមីការកំណត់ដោយ

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

( ឬ $x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$ )

គេបានទំរង់ជាផលគុណកត្តានៃ $f(x) \,$ កំនត់ដោយ

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,$

ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ស្មើសូន្យ $(\Delta = 0 )\,\!$

$f(x) = 0 \,\!$ តាមវិធីសាសស្រ្តខាងលើ $\Delta = 0 \,\!$ គេបានរាងកាណូនិកនៃសមីការអាចសរសេរ

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0$

នោះសមីការមានរឹសឌុបជាចំនួនពិតកំណត់ដោយ

$x_0 = -\frac{b}{2a} \,\!$

គេបានទំរង់ជាផលគុណកត្តានៃ $f(x) \,$ កំនត់ដោយ

$f(x) = a(x-x_0)^2~$

ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ជាចំនួនអវិជ្ជមាន $(\Delta < 0 )\,\!$ នោះសមីការគ្មានរឹសជាចំនួនពិតទេ ប៉ុន្តែមានពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គ្នាកំណត់ដោយ

$\begin{align} x &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\ x &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\ i^2 &= -1 \end{align}$

[កែប្រែ] លក្ខណៈធរណីមាត្រ

ចំពោះអនុគមន៍ដឺក្រេទី២:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) នៃអថេរ x ដែល អ័ក្ស x នៃចំនុចប្រសព្វរវាងក្រាប និងអ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ x = −1 និង x = 2 គឺជារឹសនៃសមីការ x² − x − 2 = 0 ។

រឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២

$ax^2+bx+c=0 \,$

គឺជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី២នៅពេលដែលគេអោយវាស្មើសូន្យ:

$f(x) = ax^2+bx+c\,$

ដែលគេកំណត់សរសេរ

$f(x) = 0\,$ ។

បើ a b និង c ជាចំនួនពិត និងដែនកំនត់នៃ f ជាសំនុំនៃចំនួនពិត នោះគេបាន $f(x) = 0\,$ គឺជាចំនុចដែលក្រាបប្រសព្វគ្នាជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

យោងតាមការបកស្រាយខាងលើ ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់វិជ្ជមាននោះក្រាបនឹងកាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ពីរចំនុចផ្សេងគ្នា។ បើឌីសគ្រីមីណង់ស្មើសូន្យ នោះក្រាបនឹងប៉ះអ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់មួយចំនុចគត់។ បើឌីសគ្រីមីណង់អវិជ្ជមាន នោះក្រាបមិនកាត់ឬប៉ះអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

[កែប្រែ] ការដាក់ជាផលគុណកត្តានៃសមីការដឺក្រេទី២

តួ $x - r\,$ ជាកត្តានៃពហុធា $ax^2+bx+c \$ លុះត្រាតែ r ជារឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២ $ax^2+bx+c=0 \$ ។

វាកំនត់ដោយរូបមន្តសមីការដឺក្រេទី២ដែល

$ax^2+bx+c = a \left( x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right)$ ។

ក្នុងករណីពិសេសដែលសមីការដឺក្រេទី២មានរឹសឌុប (មានន័យថា $\Delta = 0 \,\!$ )ពហុធាដឺក្រេទី២អាចដាក់ជាផលគុណកត្តាដូចខាងក្រោម

$ax^2+bx+c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2\,\!$

[កែប្រែ] ឧទាហរណ៍

គេអោយសមីការដឺក្រេទី២ $x^2 - ax + 2a =0 \,$ ដែល a ជាចំនួនថេរ។ ចូរកំនត់តំលៃនៃ a ដើម្បីអោយសមីការនេះយ៉ាងហោចណាស់មានចំលើយមួយនៅក្នុងចន្លោះ $-1 < x < 1 \,$ ។

ចំលើយ

យើងមាន $x^2 - ax + 2a = 0 \,$

តាង $f(x) = x^2 - ax + 2a \,$

ដើម្បីអោយសមីការមានចំលើយយ៉ាងហោចណាស់មួយនៅចន្លោះ $-1 < x < 1 \,$

$\begin{align} &\Longleftrightarrow &f(-1) \cdot f(1) &< 0 \\ &\Rightarrow &(1+a-2a)(1-a+2a) &<0 \\ &\Rightarrow &(3a+1)(1+a) &<0 \\ &\Rightarrow &a \in ]-\frac{1}{3}, -a[ \end{align}$

សមីការដឺក្រេទី២

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

មាតិកា

[កែប្រែ] រូបមន្តរកឫសនៃសមីការដឺក្រេទី២

[កែប្រែ] រាងកាណូនិក និងឌីសគ្រីមីណង់ Δ

[កែប្រែ] លក្ខណៈធរណីមាត្រ

[កែប្រែ] ការដាក់ជាផលគុណកត្តានៃសមីការដឺក្រេទី២

[កែប្រែ] ឧទាហរណ៍

ការមើល

ឧបករណ៍ផ្ទាល់ខ្លួន

ស្វែងរក

ទិសដៅ

សហគមន៍

ប្រអប់ឧបករណ៍

ជាភាសាដទៃទៀត

សមីការ​ដឺក្រេ​ទី២

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

មាតិកា

[កែប្រែ] រូបមន្តរកឫសនៃសមីការដឺក្រេទី២

[កែប្រែ] រាងកាណូនិក និងឌីសគ្រីមីណង់ Δ

[កែប្រែ] លក្ខណៈធរណីមាត្រ

[កែប្រែ] ការដាក់ជាផលគុណកត្តានៃសមីការដឺក្រេទី២

[កែប្រែ] ឧទាហរណ៍

ការមើល

ឧបករណ៍ផ្ទាល់ខ្លួន

ស្វែងរក

ទិសដៅ

សហគមន៍

ប្រអប់​ឧបករណ៍

ជាភាសាដទៃទៀត

សមីការដឺក្រេទី២

ប្រអប់ឧបករណ៍