សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលប៊ែរនូយី

ក្នុងគណិតវិទ្យា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមានទំរង់

$\color{blue} y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,$

ត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ងស្យែលប៊ែនូរយី (Bernoulli differential equation) ឬ សមីការប៊ែរនូយី ដែល $n \neq 1;\quad 0$ ។

ដោយចែកអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង $\ y^n$ គេបាន

$\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x)$

ដោយការប្តូរអញ្ញត្តិ​ដើម្បីបំលែង​សមីការទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរលំដាប់ទី១។

តាង $u=\frac{1}{y^{n-1}} \quad \Rightarrow \quad u'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'$

សមីការក្លាយជា

$\frac{u'}{1-n} + P(x)u = Q(x)$

ឬ

$\ u' + (1-n)P(x)u = (1-n)Q(x)$

គេអាចដោះស្រាយបំលែងចុងក្រោយនេះដោយប្រើកត្តាអាំងតេក្រាល

$M(x)= e^{(1-n)\int P(x)dx}$

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការប៊ែរនូយីខាងក្រោម

$y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2$

ដោយចែកសមីការនឹង $\ y^2$ គេបាន

$y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2$

ដោយប្តូរអថេរ សមីការក្លាយជា

$\begin{align} u = \frac{1}{y} &\quad \Rightarrow \quad u'=\frac{-y'}{y^2} \\ & \quad \Rightarrow \quad u' + \frac{2}{x}u = x^2 \qquad (i) \end{align}$

ដែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើកត្តាអាំងតេក្រាល

$M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2$

ដោយគុណសមីការ (i) នឹង $\ M(x)$ គេបាន

$u'x^2 + 2xu = x^4 \,$

ដោយ $\ (ux^2)' = u'x^2 + 2xu$ គេបាន

$\begin{align} (ux^2)' &= x^4 \\ \int (ux^2)' dx &= \int x^4 dx \\ ux^2 &= \frac{1}{5}x^5 + C \\ \frac{1}{y}x^2 &= \frac{1}{5}x^5 + C \end{align}$

ដូចនេះចំលើយនៃសមីការគឺ $y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}$