ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

ទៅកាន់៖ ទិសដៅ, ស្វែងរក
ក្រាបនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកលើដែនកំនត់ R

ក្នុង​គណិតវិទ្យា អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​គឺ​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

មាតិកា

[កែប្រែ] និយមន័យ

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ sinh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖

\begin{matrix} \sinh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {e^z-e^{-z}} {2} \end{matrix}

ដែល \ e គឺជាអនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកក៏មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងអនុគមន៍ស៊ីនុសក្នុងធរណីមាត្រអ៊ីពែបូលីកដែរ។


គេនិយមសរសេរ

\sinh z = \frac{e^z-e^{-z}}{2}

[កែប្រែ] លក្ខណៈទូទៅ

\frac{d}{dx}(\sinh x) = (\sinh x)' = (\cosh x)
\int \sinh x dx = \cosh x + C

[កែប្រែ] លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

តាមនិយមន័យនៃ​​អនុគមន៍ស៊ីនុស​​និង​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក គេអាចទាញបានសមភាពដូចខាងក្រោម៖

\ e^z = \cosh z + \sinh z
\ e^{-z} = \cosh z - \sinh z

សមភាពនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹងរូបមន្តអយល័រក្នុងត្រីកោណមាត្រ (ខ្មែរយើងភាគច្រើនអានថាអឺលែរ)​។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះកូអរដោនេ \ (\cos t, \sin t) កំនត់បានរង្វង់មួយ។ \ (\cos t, \sin t) កំនត់បានផ្នែកវិជ្ជមាននៃប៉ារ៉ាបូលនិយ័តមួយ។ គេបានចំពោះ \ t > 0

\ \cosh^2 t - \sinh^2 t = 1

ម្យ៉ាងវិញទៀតចំពោះ x \in \mathbb R

\sinh(i x) = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2} = i \sin x
\ \sinh x = -i \sin(i x)
\ \sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y
\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh x-1}{2}

[កែប្រែ] ស៊េរីតេល័រ

sinh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេមិនកំនត់ និងអាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រដូចខាងក្រោម៖

\sinh z = z + \frac {z^3} {3!} + \frac {z^5} {5!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}

[កែប្រែ] តំលៃ

តំលៃមួយចំនួននៃ sinh

  • \ \sinh(0) = 0
  • \sinh(1) = \frac {e^2-1}{2e}
  • \ \sinh(i) = i \sin(1)

[កែប្រែ] អនុគមន៍ច្រាស់

ក្រាបនៃអនុគមន៍ \ \operatorname{arcsinh}

អនុគមន៍ច្រាសនៃsinh គឺជា​អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកច្រាស​តាងដោយ \ \operatorname{arsinh} ឬ arcsinh ។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយកាត់ជាបំនែកអង្កត់ \left]-\infty i;-i\right[ និង \left]i;+\infty i\right[ ។

\operatorname{arcsinh}(z) = \ln(z + \sqrt{1+z^2})

ចំពោះ x \in \mathbb Rsinh មានដែនកំនត់លើ \mathbb R ហើយអនុគមន៍ច្រាស់របស់វាកំនត់ដោយ៖

arcsinh(x)=ln\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)

[កែប្រែ] សូមមើលផងដែរ

បានមកវិញពី "http://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%9F%E1%9F%8A%E1%9E%B8%E1%9E%93%E1%9E%BB%E1%9E%9F%E1%9E%A2%E1%9F%8A%E1%9E%B8%E1%9E%96%E1%9F%82%E1%9E%94%E1%9E%BC%E1%9E%9B%E1%9E%B8%E1%9E%80"