អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ ឬអនុគមន៍ស៊ីក្លូមេទ្រីក គឺជាអនុគមន៍ច្រាស់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ អនុគមន៍ច្រាស់សំខាន់ៗត្រូវបានដាក់បញ្ចូលក្នុងតារាងខាងក្រោម។

ឈ្មោះ	កំនត់សំគាល់ទូទៅ	និយមន័យ	ដែនកំនត់នៃ x ចំពោះលទ្ធផលពិត	ចន្លោះនៃតំលៃគោលទូទៅ
អាកស៊ីនុស	y = arcsin(x)	x = sin(y)	ពី −1 ដល់ +1	−π/2 ≤ y ≤ π/2
អាកកូស៊ីនុស	y = arccos(x)	x = cos(y)	ពី −1 ដល់ +1	0 ≤ y ≤ π
អាកតង់សង់	y = arctan(x)	x = tan(y)	ទាំងអស់	−π/2 < y < π/2
អាកកូតង់សង់	y = arccot(x)	x = cot(y)	ទាំងអស់	0 < y < π
អាកសេកង់	y = arcsec(x)	x = sec(y)	ពី −∞ ដល់ −1 ឬ ពី 1 ដល់ ∞	0 ≤ y < π/2 ឬ π/2 < y ≤ π
អាកកូសេកង់	y = arccsc(x)	x = csc(y)	ពី −∞ ដល់ −1 ឬ ពី 1 ដល់ ∞	−π/2 ≤ y < 0 ឬ 0 < y ≤ π/2

ប្រសិនបើ x ជាចំនួនកុំផ្លិច នោះដែនកំនត់នៃ y អាចអនុវត្តបានតែចំពោះផ្នែកពិតប៉ុណ្ណោះ។

កំនត់សំគាល់ $sin - 1,cos - 1$ ជាដើម ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ចំពោះ arcsin, arccos ជាដើម។ ប៉ន្តែការសន្មតនេះវាអាចធ្វើអោយមានការភាន់ច្រលំជាមួយកន្សោមមួយចំនួនដូចជា $sin^2 (x) \,$ ។

តំលៃគោលនៃ អនុគមន៍ f(x) = arcsin(x) និង f(x) = arccos(x) នៅក្នុងប្លង់ដេកាត

តំលៃគោលនៃ អនុគមន៍ f(x) = arctan(x) និង f(x) = arccot(x) នៅក្នុងប្លង់ដេកាត

តំលៃគោលនៃ អនុគមន៍ f(x) = arcsec(x) និង f(x) = arccsc(x) នៅក្នុងប្លង់ដេកាត

មាតិកា

១ ទំនាក់ទំនងក្នុងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់
២ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់
៣ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ជាកន្សោមអាំងតេក្រាល
៤ ស៊េរីអានន្ត
៥ ប្រភាគបន្តបន្ទាប់ចំពោះអាកតង់សង់
៦ អាំងតេក្រាលមិនកំនត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់
- ៦.១ សំរាយបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍
៧ វិធីសាស្រ្តចំបងក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលត្រីកោណមាត្រច្រាស់
៨ ទំរង់លោការីត
- ៨.១ សំរាយបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍
៩ រូបមន្តអាកតង់សង់បន្ថែម
- ៩.១ សំរាយបញ្ជាក់
១០ បំរើបំរាស់ក្នុងការអនុវត្តន៍

[កែប្រែ] ទំនាក់ទំនងក្នុងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

$\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$

$\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$

$\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x$

ចំពោះមុំផ្ទុយ

$\arcsin (-x) = - \arcsin x \!$

$\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!$

$\arctan (-x) = - \arctan x \!$

$\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!$

$\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!$

$\arccsc (-x) = - \arccsc x \!$

ចំពោះមុំចំរាស់:

$\arccos \frac{1}{x} \,= \arcsec x$

$\arcsin \frac{1}{x} \,= \arccsc x$

$\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x =\arccot x, \$ ប្រសិនបើ $\ x > 0$

$\arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \$ ប្រសិនបើ $\ x < 0$

$\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \$ ប្រសិនបើ $\ x > 0$

$\arccot \frac{1}{x} = \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x,\$ ប្រសិនបើ $\ x < 0$

$\arcsec \frac{1}{x} = \arccos x$

$\arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x$

ប្រសិនបើអ្នកមានតែបំនែកមួយនៃតារាងស៊ីនុស៖

$\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2},$ ប្រសិនបើ $\ 0 \leq x \leq 1$

$\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

សំគាល់៖ កាលណារឹសការ៉េនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេប្រើប្រាស់នៅទីនេះ យើងត្រួវយករឹសដែលមានផ្នែកពិតជាចំនួនវិជ្ជមាន (ឬក៏យកផ្នែកនិម្មិតវិជ្ជមាន ប្រសិនបើរឹសការ៉េជាចំនួនពិតអវិជ្ជមាន)។

ទាញចេញពីរូបមន្តកន្លះមុំ $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$ យើងបាន៖

$\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}$

$\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},$ ប្រសិនបើ $-1 < x \leq +1$

$\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$

[កែប្រែ] ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

$\begin{align} \frac{d}{dx} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{x^2\,\sqrt{1-{1 \over {x^2}}}}\\ \frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1-{1 \over {x^2}}}} \end{align}$

ចំពោះតែតំលៃនៃ $x \,$ ៖

$\begin{align} \frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\ \frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1 \end{align}$

ចំពោះដេរីវេធម្មតា៖ ប្រសិនបើ $\theta = \arcsin x \!$ យើងបាន៖

$\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

[កែប្រែ] អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ជាកន្សោមអាំងតេក្រាល

$\begin{align} \arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\ \arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\ \arctan x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\ \arccot x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\ \arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\ \arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1 \end{align}$

នៅពេលស្មើ 1 នោះអាំងតេក្រាលដែលមានដែនកំនត់កំនត់ ជាimproper integral ប៉ុន្តែវានៅតែអាចកំនត់បាន។

[កែប្រែ] ស៊េរីអានន្ត

$\begin{align} \arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1 \end{align}$

$\begin{align} \arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\ & {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1 \end{align}$

$\begin{align} \arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i \end{align}$

$\begin{align} \arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\ & {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i \end{align}$

$\begin{align} \arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} ; \qquad \left| z \right| \ge 1 \end{align}$

$\begin{align} \arccsc z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) \\ & {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1} ; \qquad \left| z \right| \ge 1 \end{align}$

Leonhard Euler បានរកឃើញស៊េរីដែលមានភាពប្រសើរជាច្រើនបន្ថែមទៀតសំរាប់អាកតង់សង់ដូចខាងក្រោម៖

$\arctan x = \frac{x}{1+x^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k x^2}{(2k+1)(1+x^2)}.$

(សំគាល់៖ តួក្នុងផលបូកចំពោះ n= 0 គឺផលគុណទទេ ដែលស្មើ 1)

វាអាចសំដែងដោយ៖

$\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{\left(2n+1\right)!} \; \frac{x^{\,2n+1}}{\left(1+x^2\right)^{n+1}}$

[កែប្រែ] ប្រភាគបន្តបន្ទាប់ចំពោះអាកតង់សង់

ចំពោះភាពឆ្លាស់នៃស៊េរីស្វ័យគុណសំពោះអាកតង់សង់គឺវាមានលក្ខណៈជាប្រភាគបន្តបន្ទាប់។

$\arctan(z)=\cfrac{z}{1 + \cfrac{z^2}{3 + \cfrac{4 z^2}{5 + \cfrac{9 z^2}{7 + \cfrac{16 z^2}{9 + \cfrac{25 z^2}{\ddots\,}}}}}}\,$

វាពិតនីក្នុងបំណែកប្លង់កុំផ្លិច។ មានពីរបំណែកពី −i ដល់ចំនុចដែលមានតំលៃអានន្ត។ និងមួយបំណែកទៀតពី i ដល់ចំនុចត្រង់អានន្ត។ វាដំណើរការឥតខ្ចោះនៅចន្លោះពី −១ ដល់ ១ ។

[កែប្រែ] អាំងតេក្រាលមិនកំនត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

ចំពោះតំលៃពិត និងតំលៃកុំផ្លិចនៃ x

$\begin{align} \int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\ \int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\\ \int \arctan x\,dx &{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\ \int \arccot x\,dx &{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\ \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2})\right) + C\\ \int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2})\right) + C \end{align}$

ចំពោះតំលៃពិតនៃ x≥1៖

$\begin{align} \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C\\ \int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C \end{align}$

ទាំងអស់នេះអាចទាញបានដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក និងដេរីវេធម្មតា បង្ហាញដូចខាងលើe.

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍

ដោយប្រើ $\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u$ តាង

$\begin{align} u &{}=&\arcsin x &\quad\quad\mathrm{d}v = \mathrm{d}x\\ \mathrm{d}u &{}=&\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&\quad\quad{}v = x \end{align}$

គេបាន

$\int \arcsin x\,\mathrm{d}x = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$

ដោយជំនួស $k = 1 - x^2\,$ ។ នោះ $\mathrm{d}k = -2x\,\mathrm{d}x$ និង

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k}$

ជំនួសត្រឡប់វិញ x គេបាន

$\int \arcsin x\,\mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}$

[កែប្រែ] វិធីសាស្រ្តចំបងក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលត្រីកោណមាត្រច្រាស់

ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអាកស៊ីនុស សូមប្រើ៖

$\arcsin x = \arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអាកកូស៊ីនុស សូមប្រើ៖

$\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$

ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអាកតង់សង់ចំពោះ x ក្បែរសូន្យ សូមប្រើវិធីសាស្រ្តគណនាអាកតង់សង់នៃប្រភាគបន្តបន្ទាប់ខាងលើ។ ដើម្បីគណនាអាកតងសង់ចំពោះតំលៃ x ផ្សេងៗទៀត សូមប្រើ៖

$\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$

ដើម្បីគណនាអាកកូតង់សង់ សូមប្រើ៖

$\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$

ដើម្បីគណនាអាកសេកង់ សូមប្រើ៖

$\arcsec x = \frac{\pi}{2} - \arcsin \frac{1}{x}$

ដើម្បីគណនាអាកកូសេកង់ សូមប្រើ៖

$\arccsc x = \arcsin \frac{1}{x}$

[កែប្រែ] ទំរង់លោការីត

អនុគមន៍ទាំងនេះអាចសំដែងជាទំរង់លោការីតដោយប្រើ លោការីតកុំផ្លិច។ នេះជាការពន្លាតដែនកំនត់របស់អនុគមន៍ទាំងនេះទៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិច។

$\begin{align} \arcsin x &{}= -i\,\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) &{}= \arccsc \frac{1}{x}\\ \arccos x &{}= -i\,\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) = \frac{\pi}{2}\,+i\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &{}= \arcsec \frac{1}{x}\\ \arctan x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-i\,x\right)-\log\left(1+i\,x\right)\right) &{}= \arccot \frac{1}{x}\\ \arccot x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-\frac{i}{x}\right)-\log\left(1+\frac{i}{x}\right)\right) &{}= \arctan \frac{1}{x}\\ \arcsec x &{}= -i\,\log\left(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}+\frac{1}{x}\right) = i\,\log\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right)+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}-\arccsc x &{}= \arccos \frac{1}{x}\\ \arccsc x &{}= -i\,\log\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right) &{}= \arcsin \frac{1}{x} \end{align}$

សំរាយបញ្ជាក់នៃទំនាក់ទំនងទាំងនេះ គឺធ្វើតាមរយៈពន្លាតវាក្នុងទំរង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍

$\arcsin x\,=\,\theta$

$\frac{e^{i\,\theta}-e^{-i\,\theta}}{2i}\,=\,x$ (និយមន័យអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃស៊ីនុស)

តាង

$k=e^{i\,\theta}.$

គេបាន

$\frac{k-\frac{1}{k}}{2i}\,=\,x$

$k^2-2\,i\,k\,x-1\,=\,0$ (ដំណោះស្រាយចំពោះ

k

)

$k\,=\,i\,x\pm\sqrt{1-x^2}\,=\,e^{i\,\theta}$ (យកផ្នែកខាងវិជ្ជមាន)

$\theta\,=\,\arcsin\,x\,=\,-i\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right)$ Q.E.D.

**អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច'**

$\arcsin(z) \,$	$\arccos(z) \,$	$\arctan(z) \,$	$\arccot(z) \,$	$\arcsec(z) \,$	$\arccsc(z) \,$

[កែប្រែ] រូបមន្តអាកតង់សង់បន្ថែម

$\color{blue} \arctan u + \arctan v = \arctan \left( \frac{u+v}{1-uv} \right)$

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់

ចាប់ផ្តើមពី

$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\,$

និងតាង

$u\,=\,\tan\,\alpha\,,\,v =\,\tan\,\beta$

[កែប្រែ] បំរើបំរាស់ក្នុងការអនុវត្តន៍

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមានសារៈសំខាន់នៅពេលគេចង់រករង្វាស់មុំដែលនៅសល់ពីរផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណកែង ដែលគេស្គាល់រួចជាស្រេចនូវរង្វាស់ប្រវែងនៃត្រីកោណកែងនេះ។ ដោយប្រើអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

$\theta = \arcsin \left( \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \right)$

សំគាល់៖ opposite = ជ្រុងឈម, hypotenuse = អ៊ីប៉ូតេនុស និង adjacent = ជ្រុងជាប់

ជាញឹកញាប់ អ៊ីប៉ូតេនុសជារង្វាស់ជ្រុងដែលគេមិនប្រាប់ និងចាំបាច់ត្រូវរកមុនពេលប្រើប្រាស់អាក់ស៊ីនុស ឬ អាកកូស៊ីនុស។ អ្នកអាចគណនាមុំនៃត្រីកោណដោយមិនចាំបាច់ដឹងប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុសក៏បាន។

$\theta = \arctan \left( \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \right)$

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

មាតិកា

[កែប្រែ] ទំនាក់ទំនងក្នុងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

[កែប្រែ] ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

[កែប្រែ] អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ជាកន្សោមអាំងតេក្រាល

[កែប្រែ] ស៊េរីអានន្ត

[កែប្រែ] ប្រភាគបន្តបន្ទាប់ចំពោះអាកតង់សង់

[កែប្រែ] អាំងតេក្រាលមិនកំនត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍

[កែប្រែ] វិធីសាស្រ្តចំបងក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលត្រីកោណមាត្រច្រាស់

[កែប្រែ] ទំរង់លោការីត

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍

[កែប្រែ] រូបមន្តអាកតង់សង់បន្ថែម

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់

[កែប្រែ] បំរើបំរាស់ក្នុងការអនុវត្តន៍

ការមើល

ឧបករណ៍ផ្ទាល់ខ្លួន

ស្វែងរក

ទិសដៅ

សហគមន៍

ប្រអប់ឧបករណ៍

ជាភាសាដទៃទៀត

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

មាតិកា

[កែប្រែ] ទំនាក់ទំនងក្នុងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

[កែប្រែ] ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

[កែប្រែ] អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ជាកន្សោមអាំងតេក្រាល

[កែប្រែ] ស៊េរីអានន្ត

[កែប្រែ] ប្រភាគបន្តបន្ទាប់ចំពោះអាកតង់សង់

[កែប្រែ] អាំងតេក្រាលមិនកំនត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍

[កែប្រែ] វិធីសាស្រ្តចំបងក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលត្រីកោណមាត្រច្រាស់

[កែប្រែ] ទំរង់លោការីត

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍

[កែប្រែ] រូបមន្តអាកតង់សង់បន្ថែម

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់

[កែប្រែ] បំរើបំរាស់ក្នុងការអនុវត្តន៍

ការមើល

ឧបករណ៍ផ្ទាល់ខ្លួន

ស្វែងរក

ទិសដៅ

សហគមន៍

ប្រអប់​ឧបករណ៍

ជាភាសាដទៃទៀត

ប្រអប់ឧបករណ៍