អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកច្រាស់

អនុគមន៍ artanh

អនុគមន៍ច្រាស់នៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកគឺជាអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកក្រលាផ្ទៃ។ វាគណនាក្រលាផ្ទៃនៃបំណែករបស់អ៊ីពែបូលឯកតា $x^2 - y^2 = 1 \,$ ដែលជាវិធីដូចគ្នាចំពោះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ ក្នុងការគណនាប្រវែងធ្នូនៃបំណែកមួយនៅលើរង្វង់ឯកតា $x^2 + y^2 = 1 \,$។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ជាទូទៅវាត្រូវបានគេសរសេរកាត់ជា $arsinh, arcsinh \,$ ឬ $asinh \,$ (នៅក្នុងជំនាញវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ)។ $sinh^{-1} (x), cosh^{-1} (x) \,$ ជាដើមក៏ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ផងដែរ។

តំណាងលោការីត

សញ្ញានៃប្រមាណវិធីត្រូវបានផ្តល់និយមន័យនៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិចដោយ៖

• $\operatorname{arsinh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
• $\operatorname{arcosh}\, x = \ln(x + \sqrt{x-1}\sqrt{x+1})$
• $\operatorname{artanh}\, x = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
• $\operatorname{arcsch}\, x = \ln\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)$
• $\operatorname{arsech}\, x = \ln\left(\sqrt{\frac{1}{x}-1}\sqrt{\frac{1}{x}+1}+\frac{1}{x}\right)$
• $\operatorname{arcoth}\, x = \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}$

អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកច្រាស់ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

$\operatorname{arsinh}(z)$	$\operatorname{arcosh}(z)$	$\operatorname{artanh}(z)$	$\operatorname{arcoth}(z)$	$\operatorname{arsech}(z)$	$\operatorname{arcsch}(z)$

កន្សោមស៊េរី

កន្សោមស៊េរីអាចទទួលបានចំពោះអនុគមន៍ខាងលើ៖

$\operatorname{arsinh}\, x$

$= x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots$

$= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1$

$\operatorname{arcosh}\, x$

$= \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right)$

$= \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1$

$\operatorname{artanh}\, x = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1$

$\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh}\, x^{-1}$

$= x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots$

$= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1$

$\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh}\, x^{-1}$

$= \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right)$

$= \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1$

$\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh}\, x^{-1}$

$= x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots$

$= \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1$

កន្សោមអាស៊ីមតូចចំពោះ arsinh x គឺ

$\operatorname{arsinh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកច្រាស់

$\begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcosh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{artanh}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcoth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0 \end{align}$

ឧទាហរណ៍មួយចំពោះដេរីវេ។ តាង $\theta = arsinh x \,$ គេបានៈ

$\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

សូមមើលផងដែរ

• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក