អាំងតេក្រាលឌីរិចឡេ

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

អាំងតេក្រាលឌីរិចឡេ (ភាសាបារាំង: intégrale de Dirichlet) គឺជាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសកាឌីណាល់លើកន្លះបន្ទាត់នៃអ័ក្សពិតផ្នែកវិជ្ជមានកំនត់ដោយ

$\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}$

គេអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយប្រើអាំងតេក្រាលហ្វួរា (Fourier integral) ។ វាក៏អាចត្រូវបានគេគណនាយ៉ាងងាយដោយប្រើការធ្វើឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ការធ្វើដេរីវេ) ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល។

[កែប្រែ] សំរាយបញ្ជាក់ដោយការធ្វើឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល

ដំបូងយើងនឹងសរសេរអាំងតេក្រាលឡើងវិញជាអនុគមន៍នៃចំនួនថេរ $\ \alpha$ និង $\ \omega$ ។

តាង $f(\alpha)=\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \omega}{\omega} d\omega$

បន្ទាប់មកយើងរក $\ f(0)$

ដោយការធ្វើឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាម $\ \alpha$ យើងបាន

$\frac{df}{d\alpha}=\frac{\partial}{\partial\alpha}\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \omega}{\omega} d\omega$

ដោយអនុវត្តក្បួនអាំងតេក្រាលឡេបនីស (Leibniz Integral Rule) យើងបាន

$\frac{\partial}{\partial\alpha}\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \omega}{\omega} d\omega = \int_0^\infty \frac{\partial}{\partial\alpha}e^{-\alpha\omega}\frac{\sin \omega}{\omega} d\omega = -\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \sin \omega \,d\omega$