អាំងតេក្រាលប្តូរអថេរ

ក្នុងគណិតវិទ្យា ការ​ប្តូរ​អថេរ​គឺ​ជាវិធីសាស្រ្តជំនួស​អញ្ញត្តិ​ឬ​អនុគមន៍មួយដោយអញ្ញតិ្តមួយ ឬ អនុគមន៍មួយផ្សេងទៀត។ វា​ជា​វិធីសាស្រ្ត​ដ៏​ចំបង​ក្នុង​គណនា​អាំងតេក្រាល។

ក្បួន

នេះជាក្បួនគណនាអាំងតេក្រាលដោយ​ចាប់​ផ្តើម​ពី​ទ្រឹស្តីបទដេរីវេនៃអនុគមន៍បណ្តាក់ (ឬហៅថាក្បួនឆេន, Chain Rule) ។ គេមានពីរអនុគមន៍ដេរីវេ $\ f,g$ និងតាមនិយមន័យអាំងតេក្រាល

$\int f'(x)\mathrm dx = \int\mathrm df(x) = f(x) + C$

គេបាន

$\int \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d g(x)} f(g(x)) \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} g(x) \right) \mathrm dx = \int\mathrm d[f \circ g(x)] = f \circ g (x) + C$

ឧទាហរណ៍

គណនាអាំងតេក្រាល

$\int_{-\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx$

ដោយការប្តូរអថេរ $\ u=x^2$ ហេតុនេះ $\ \mathrm du=2x\mathrm dx$ ។ $\ x$ ប្រែប្រួលលើចន្លោះ $-\sqrt\pi$ និង $2\sqrt\pi$ គេបាន $\ u$ ប្រែប្រួលលើចន្លោះ $\ \pi$ និង $\ 4\pi$ ។

$\int_{-\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx = \int_{\pi}^{4\pi} \cos(u)\mathrm du = [\sin(u)]^{4\pi}_{\pi} = \sin(4\pi)-\sin{\pi}=0-0=0$

ទ្រឹស្តីបទ

ពំនោលទ្រឹស្តីបទ

គេមាន $\ f$ ជាអនុគមន៍ជាប់ និង $\ \varphi$ ជាអនុគមន៍នៃថ្នាក់ $\ \mathcal C^1$ (អាចនិយាមបានថាជាអនុគមន៍មានដេរីវេ និង ដេរីវេរបស់វាជាអនុគមន៍ជាប់) នៅលើចន្លោះ$\ [a,b]$ នោះគេបានរូបភាពវាជាប់នៅលើដែនកំនត់នៃ $\ f$ ។ ហេតុនេះ

$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt$

សំរាយបញ្ជាក់

គេមាន $\ f$ ជាអនុគមន៍ជាប់ និងមានព្រីមីទីវ $\ F$ លើដែនកំនត់ $\ D$ ។ អនុគមន៍ $\ F\circ \varphi$ ជាអនុគមន៍មានដេរីវេ​ ដែលជាបណ្តាក់នៃពីរអនុគមន៍ គេបាន

$(F\circ\varphi)'=(f\circ \varphi) \times \varphi'$

ដែល

$\int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt=\int_{a}^{b} ((f\circ \varphi) \times \varphi')(t)\,\mathrm dt$

$=\int_{a}^{b} (F\circ \varphi)'(t)\,\mathrm dt$

$=\left[F\circ \varphi\right]_a^b$

$=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))$

$=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx$

វិធីសាស្ត្រប្តូរអថេរចំពោះអនុគមន៍អសនិទាន

ដើម្បីគណនា

$\int{f\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm d}}\right)\mathrm{\mathrm d}x}$

ដែល $\ f$ ជាអនុគមន៍អសនិទាននៃពីរអថេរ។ n ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ និង a, b, c, d ជាចំនួនពិតគេអោយ។ គេតាង

$u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm d}}$

ករណីអាំងតេក្រាលច្រើនជាន់

គេមាន f ជាអនុគមន៍ច្រើនអថេរ ម្យ៉ាងវិញទៀតការប្តូរអថេរនៃដែនកំនត់អាំងតេក្រាល គេប្រើយ៉ាកូបីនៃបំលែងឡាប្លាសនៃ $\ \varphi'$ ។ យ៉ាកូបី​គឺជា​ដេទែមីណង់​នៃ​ម៉ាទ្រីសយ៉ាកូបី​។ គេអោយរូបមន្តអិចផ្លីស៊ីត (explicit) នៃការប្តូរអថេរ គេបាន

$\iint_D f(x,y) \;\mathrm dx\mathrm dy = \iint_T f\bigl(\phi(u,v),\Psi(u,v)\bigr)\left|\frac{\part(\phi,\Psi)}{\part(u,v)}(u,v)\right|~\mathrm du\mathrm dv$