ត្រីកោណមាត្រកុំផ្លិច

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ក្នុងចំនួនកុំផ្លិច រូបមន្តអឺលែរចំពោះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រអាចកំនត់

• $\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}={\frac {\sinh iz}{i}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}$

• $\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}={\cosh iz}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}$

• $\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}=-i{\frac {\sinh iz}{\cosh iz}}=-i\tanh iz=-i{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}}$

ដូចគ្នាចំពោះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

• $\arcsin z=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)$
• $\arccos z=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$
• $\arctan z={\frac {i}{2}}{\Big (}\ln(1-iz)-\ln(1+iz){\Big )}$

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រកុំផ្លិច

ខាងក្រោមនេះជាបំណកស្រាយនៃរូបមន្តសំរាប់គណនាកូស៊ីនុសនៃចំនួនកុំផ្លិច

$af+ibf=\cos {(a+i.b)}={\frac {e^{i(a+i.b)}+e^{-i(a+i.b)}}{2}}={\frac {e^{i.a-b}+e^{-i.a+b}}{2}}={\frac {e^{-b}.e^{i.a}+e^{b}.e^{-i.a}}{2}}={\frac {e^{-b}}{2}}.e^{i.a}+{\frac {e^{-b}}{2}}.e^{-i.a}$

$\Rightarrow r_{1}={\frac {e^{-b}}{2}}$         $t_{1}=a\,$                $\Rightarrow r_{2}={\frac {e^{b}}{2}}$        $t_{2}=-a\,$

$\Rightarrow a_{1}=r_{1}.\cos {t_{1}}={\frac {e^{-b}}{2}}.\cos {a}$        $b_{1}=r_{1}.\sin {t_{1}}={\frac {e^{-b}}{2}}.\sin {a}$

$\Rightarrow a_{2}=r_{2}.\cos {t_{2}}={\frac {e^{b}}{2}}.\cos {(-a)}={\frac {e^{b}}{2}}.\cos {a}$        $b_{2}=r_{2}.\sin {t_{2}}={\frac {e^{b}}{2}}.\sin {(-a)}=-{\frac {e^{b}}{2}}.\sin {a}$

$\Rightarrow af=a_{1}+a_{2}={\frac {e^{-b}}{2}}.\cos {a}+{\frac {e^{b}}{2}}.\cos {a}=\cos {a}.[{\frac {e^{-b}}{2}}+{\frac {e^{b}}{2}}]=\cos {a}.[{\frac {e^{b}+e^{-b}}{2}}]=\cos {a}.\cosh {b}$

$=>bf=b_{1}+b_{2}={\frac {e^{-b}}{2}}.\sin {a}-{\frac {e^{b}}{2}}.\sin {a}=\sin {a}.[{\frac {e^{-b}}{2}}-{\frac {e^{b}}{2}}]=\sin {a}.[{\frac {-1.(e^{b}-e^{-b})}{2}}]=-\sin {a}.\sinh {b}$

$\Rightarrow \cos {(a+i.b)}=\cos {(a)}.\cosh {(b)}-i.\sin {(a)}.\sinh {(b)}\,$

ចំពោះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រផ្សេងទៀត ក៏ដូចគ្នាដែរ។

$\tan {z}={\frac {\sin {z}}{\cos {z}}}$        $\cot {z}={\frac {\cos {z}}{\sin {z}}}$

សូមមើលផងដែរចំពោះសំរាយបញ្ជាក់នៃកូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

$af+ibf=\cosh {(a+i.b)}={\frac {e^{a+i.b}+e^{-(a+i.b)}}{2}}={\frac {e^{a+i.b}+e^{-a-i.b}}{2}}={\frac {e^{a}.e^{i.b}+e^{-a}.e^{-i.b}}{2}}={\frac {e^{a}}{2}}.e^{i.b}+{\frac {e^{-a}}{2}}.e^{-i.b}$

$=>r_{1}={\frac {e^{a}}{2}}$        $t_{1}=b\,$               $=>r_{2}={\frac {e^{-a}}{2}}$        $t_{2}=-b\,$

$=>a_{1}=r_{1}.\cos {t_{1}}={\frac {e^{a}}{2}}.\cos {b}$        $b_{1}=r_{1}.\sin {t_{1}}={\frac {e^{a}}{2}}.\sin {b}$

$=>a_{2}=r_{2}.\cos {t_{2}}={\frac {e^{-a}}{2}}.\cos {(-b)}={\frac {e^{-a}}{2}}.\cos {b}$        $b_{2}=r_{2}.\sin {t_{2}}={\frac {e^{-a}}{2}}.\sin {(-b)}=-{\frac {e^{-a}}{2}}.\sin {b}$

$=>af=a_{1}+a_{2}={\frac {e^{a}}{2}}.\cos {b}+{\frac {e^{-a}}{2}}.\cos {b}=[{\frac {e^{a}}{2}}+{\frac {e^{-a}}{2}}].\cos {b}=[{\frac {e^{a}+e^{-a}}{2}}].\cos {b}=\cosh {a}.\cos {b}$

$=>bf=b_{1}+b_{2}={\frac {e^{a}}{2}}.\sin {b}-{\frac {e^{-a}}{2}}.\sin {b}=[{\frac {e^{a}}{2}}-{\frac {e^{-a}}{2}}].\sin {b}=[{\frac {e^{a}-e^{-a}}{2}}].\sin {b}=\sinh {a}.\sin {b}$

$=>\cosh {(a+i.b)}=\cosh {(a)}.\cos {(b)}-i.\sinh {(a)}.\sin {(b)}\,$

ដូចគ្នាដែរចំពោះអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកផ្សេងទៀត

$\tanh {z}={\frac {\sinh {z}}{\cosh {z}}}$        $\coth {z}={\frac {\cosh {z}}{\sinh {z}}}$

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
• ចំនួនកុំផ្លិច