ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា

ក្នុងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា (Binomial Theorem) ឬ រូបមន្តទ្វេធាញូតុន​ ឬ ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាញូតុន​​គឺជារូបមន្តដ៏មានសារៈសំខាន់មួយក្នុងការពន្លាតកន្សោមស្វ័យគុណ​នៃផលបូក។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ ឬ ចំនួនកុំផ្លិច a b និង n ជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមានគេបាន

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

ដែល ${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$ ជា​មេគុណទ្វេធា និង $\ n!$ តំណាងអោយ​ហ្វាក់តូរ្យែល​នៃ n ។

ឧទាហរណ៍ចំពោះ 2 ≤ n ≤ 5 ៖

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$

$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,$

$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\,$

ប្រភេទទ្វេធា

ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាអាចត្រូវបានគេពោលដោយនិយាយថាស៊្វីតពហុធា

$\left\{\,x^{k}:k=0,1,2,\dots \,\right\}\,$

គឺជាប្រភេទទ្វេធា។

សំរាយបញ្ជាក់

វិធីសាស្ត្រមួយបកស្រាយទ្រឹស្តីបទទ្វេធាគឺប្រើ​វិចារកំនើនគណិតវិទ្យា (mathematical induction) ។

• $n=0~,\qquad (a+b)^{0}=1={0 \choose 0}a^{0}b^{0}$
• $n=1~,\qquad (a+b)^{1}=a+b={1 \choose 0}a^{1}b^{0}+{1 \choose 1}a^{0}b^{1}$

គេមាន n ជាចំនួនគត់​ធំជាងឬស្មើមួយ យើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាប្រសិនបើទំនាក់ទំនងនេះពិតចំពោះ n នោះយើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់ថាវាពិតផងដែរចំពោះ n+1

តាមសម្មតិកម្មនៃវិចារកំនើតយើងបាន

$(a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

ដោយការពន្លាតកន្សោមគេបាន

$(a+b)^{n+1}=a^{n+1}+a\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+b\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+b^{n+1}$

ដោយការដាក់ជាកក្តា យើងបាន

$(a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left\lbrack {{n} \choose {k}}+{{n} \choose {k-1}}\right\rbrack a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}$

ដោយប្រើប្រាស់រូបមន្ត​ត្រីកោណប៉ាស្កាល់​យើងបាន៖

$(a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{{n+1} \choose k}~a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}$

ហេតុនេះទំនាក់ទំនងនេះពិតចំពោះ n+1 ដែរ។

ដូចនេះ

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

ចំនួនទ្វេធា

ចំនួនទ្វេធា (binomial number) គឺជាចំនួនដែលមានរាង $\scriptstyle x^{n}\,\pm \,b^{n}$ (ចំពោះ n ធំជាងឬស្មើ 2) ។ នៅពេលសញ្ញាដក ឬ n គឺ​ជា​ចំនួនសេស ចំនួនទ្វេធា​នេះ​អាច​ដាក់​ជា​ផលគុណកក្តា៖

$a^{n}\pm b^{n}=(a\pm b)(a^{n-1}\mp a^{n-2}b+\cdots \mp ab^{n-2}+^{n-1})\,$

ឧទាហរណ៍៖

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,$

$a^{8}-b^{8}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})(a^{4}+b^{4})\,$

ដាក់ $\scriptstyle a^{n}\,-\,b^{n}$ ជាកក្តា

$a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}\right)$

លក្ខណៈទូទៅ

ទ្រឹស្តីបទទ្វេធាត្រូវបានធ្វើអោយទៅជាទូទៅដោយលោក អ៊ីសាក់ ញូតុន (Isaac Newton) ដែលបានប្រើស៊េរីអនន្ត (infinite series) ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច។ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតឬចំនួនកុំផ្លិច $\ a;\quad b$ និង $\ r$ គេបាន

$(a+b)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}a^{r-k}b^{k}$

សំរាយបញ្ជាក់

គេមានអនុគមន៍ $\ f(b)=(a+b)^{r}$ ចំពោះចំនួនថេរ $\ a,r$។ វាមានភាពស្រួលក្នុងការមើលថា ${\frac {d^{k}}{db^{k}}}f=r(r-1)\cdots (r-k+1)(a+b)^{r-k}$ ។ នោះយើងបាន ${\frac {d^{k}}{db^{k}}}f(0)=r(r-1)\cdots (r-k+1)a^{r-k}$ ។ ហេតុនេះស៊េរីតេល័រចំពោះ $\ f(b)$ ផ្ចិត $\ 0$ គឺ

$(a+b)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)a^{r-k}b^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}a^{r-k}b^{k}$