ចំនួនកុំផ្លិច

ចំនួនកុំផ្លិច（complex number） ជាចំនួនដែលអាចសំដែងជាទំរង់ $a+bi\,$ ដែល $a\,$ និង $b\,$ជាចំនួនពិត និង $i'\,$ជាឯកតានិមិ្មត។

និយមន័យ

• ចំនួននិមិ្មត $i={\sqrt {\color {Red}-1}},\quad i^{2}=-1$

$Z=a+bi.\,$

a ជាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Real Part)

b ជាផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Imaginary part)

ប្រមាណវិធី

$i={\sqrt {\color {Red}-1}},\quad i^{2}=-1$៖

• ផលបូក: $\,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
• ផលដក: $\,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
• ផលគុណ: $\,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i$
• ផលចែក: $\,{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i\,$

ផ្លង់កុំផ្លិច

លក្ខណៈធរណីមាត្រនៃ$z$ និងចំលាស់របស់វា${\bar {z}}$ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

តំលៃដាច់ខាតនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

${\overline {z\cdot w}}={\bar {z}}\cdot {\bar {w}}$

${\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}$

${\bar {\bar {z}}}=z$

${\bar {z}}=z$   ប្រសិនបើ z ជាចំនួនពិតសុទ្ធ

${\bar {z}}=-z$   iប្រសិនបើ z ជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ

$|z|=|{\bar {z}}|$

$|z|^{2}=z\cdot {\bar {z}}$

$z^{-1}={\bar {z}}\cdot |z|^{-2}$   ប្រសិនបើ z មិនស្មើសូន្យ

ប្រភាគនៃចំនួនកុំផ្លិច

${\begin{aligned}{a+bi \over c+di}&={(a+bi)(c-di) \over (c+di)(c-di)}={(ac+bd)+(bc-ad)i \over c^{2}+d^{2}}\\&=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+i\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right).\,\end{aligned}}$

ទំរង់ប៉ូលែរ

កូអរដោនេប៉ូលែក្នុងតំរុយដេកាត

$x=r\cos \varphi$

$y=r\sin \varphi$

ផ្ទុយមកវិញ

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\varphi =\arg(z)=arctan{\frac {y}{x}}$

$x+iy=re^{i\varphi }\!$

ទំរង់ត្រីកោណមាត្រ និង​ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច

$a+bi=r(cos\alpha +isin\alpha )\!$, ដែល $r\!$ ជាម៉ូឌុលនៃ​ $a+bi\!$ ។
$r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\!$

$cos\alpha ={\frac {a}{r}};sin\alpha ={\frac {b}{r}}\!$

ទ្រឹស្តីបទ :

បើគេមានទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកំផ្លិច $z_{1}\!$ និង $z_{2}\!$ ដែល $z_{1}=r_{1}(cos\alpha _{1}+isin\alpha _{1})\!$ និង $z_{2}=r_{2}(cos\alpha _{2}+isin\alpha _{2})\!$គេបាន​

ក)​ $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\alpha +\alpha )+isin(\alpha _{1}+\alpha _{2})]\!$

ខ) ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}[cos(\alpha _{1}-\alpha _{2})+isin(\alpha _{1}-\alpha _{2})]\!$

ទ្រឹស្តីបទ :

បើ $z\!$ ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន $|z|^{2}=z\cdot {\bar {z}}\!$ ។

លក្ខណៈ

គេអោយ $w\!$ និង $z\!$ ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន

ក)​ $|wz|=|w|\cdot |z|\!$
ខ) $|{\frac {w}{z}}|={\frac {|w|}{|z|}};z\neq 0\!$
គ) $|w+z|\leq |w|+|z|\!$

ស្វ័យគុណទី​ $n\!$​ នៃចំនួនកុំផ្លិច

គេមាន $Z=r(cos\alpha +isin\alpha )\!$ ។

តាមរូបមន្ត $Z_{1}Z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\alpha _{1}+\alpha _{2})+isin(\alpha _{1}+\alpha _{2})]\!$

គេបាន $ZZ=rr[cos(\alpha +\alpha )+isin(\alpha +\alpha )]\!$

$Z^{2}=r^{2}(cos2\alpha +isin2\alpha )\!$

$Z^{3}=Z^{2}\cdot Z=(r^{2}\cdot r)[cos(2\alpha +\alpha )+isin(2\alpha +\alpha )]=r^{3}(cos3\alpha +isin\alpha )\!$

........................................................................................

$Z^{n}=Z^{n-1}\cdot Z=r^{n}(cosn\alpha +isin\alpha )\!$

ជាទូទៅ :​

$Z^{n}=[r(cos\alpha +isin\alpha )]^{n}=r^{n}(cosn\alpha +isinn\alpha )\!$ គ្រប់ $n\in \mathbb {Z} \!$ គេទាញបាន $(cos\alpha +isin\alpha )^{n}=(cosn\alpha +isinn\alpha )\!$ហៅថា ទ្រឹស្តីបទដឺម័រ។

ឧទាហរណ៍​: គណនា​ $(1+i)^{50}\!$

តាង $z=1+i\!$ គេបាន $z={\sqrt {2}}(cos{\frac {\pi }{4}}+isin{\frac {\pi }{4}})\!$
តាមទ្រឹស្តីបទដឺម័រ

$(i+i)^{50}={\sqrt {2}}^{50}[cos(50\cdot {\frac {\pi }{4}})+isin(50\cdot {\frac {\pi }{4}})]=2^{25}(cos{\frac {25\pi }{2}}+isin{\frac {25\pi }{2}})=2^{25}[cos(12\pi +{\frac {\pi }{2}})+isin(12\pi +{\frac {\pi }{2}})]=2^{25}(cos{\frac {\pi }{2}}+isin{\frac {\pi }{2}})\!$

ដូចនេះ $(1+i)^{50}=2^{25}i=33554432i\!$

រឹសទី $n\!$ នៃចំនួនកុំផ្លិច

បើចំនួនកុំផ្លិចមេនសូន្យ Z​ មានរឹសទី n គឺ W គេបាន $W^{n}=Z\!$​។ ទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច Z និង W គឺ $Z=r(cos\theta +isin\theta )\!$ និង $W=s(cos\alpha +isin\alpha )\!$

គេបាន $W^{n}=s^{n}(cosn\alpha +isinn\alpha )\!$

ដោយ $W^{n}=Z\!$ គេបាន $s^{n}(cosn\alpha +isinn\alpha )=r(cos\theta +isin\theta )\!$

ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា ម៉ូឌុលរបស់វាក៏ស្មើគ្នាដែរ។

ដូចនេះ $s^{n}=r\!$ ។ ដោយ $s>0\!$ និង $r>0\!$ នាំអោយ $s={\sqrt[{n}]{r}}\!$ ។

$cosn\alpha +isinn\alpha =cos\theta +isin\theta \!$

គេបាន $cosn\alpha =cos\theta \!$ នាំអោយ $n\alpha =\theta +2k\pi \ ;\ \alpha ={\frac {\theta +2k\pi }{n}}\ ;\ k\in \mathbb {Z} \!$។

ជំនួស $\alpha ={\frac {\theta +2k\pi }{n}}\!$ និង $s={\sqrt[{n}]{r}}\!$ ក្នុងទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច $W$ គេបាន $w={\sqrt[{n}]{r}}[cos({\frac {\theta +2k\pi }{n}})+isin({\frac {\theta +2k\pi }{n}})]\!$ ។

បើ​គេជំនួស $k=0;1;2;...;n-1$ គេបាន n រឹសទី n​ ផ្សេងៗគ្នានៃ Z​ ។

​

ទ្រឹស្តីបទ :

បើ $Z=r(cos\theta +isin\theta )\!$ ជាចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ​ ហើយ​ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាននោះ Z មានរឹសទី n គឺ​ :

$w_{k}={\sqrt[{n}]{r}}[cos({\frac {\theta +2k\pi }{n}})+isin({\frac {\theta +2k\pi }{n}})]\!$ បើ k=0;1;2;...;n-1 នោះ Z មានរឹសទី n គឺ $w_{0};w_{1};w_{2};...;w_{n-1}\!$​ ។

ឧទាហរណ៍ :​ គណនារឹសទី 6 នៃ -1

តាង Z = -1 + 0i គេបាន $r={\sqrt {1}}=1$ ។

$cos\theta ={\frac {a}{r}}=-1$ និង $sin\theta ={\frac {b}{r}}=0$ នាំអោយ $\theta =\pi$។

$Z=-1+0i=(cos\pi +isin\pi )\!$

n = 6 យើងគណនារឹសទី 6 នៃ​ Z = -1 + 0i ។

$w_{k}=cos({\frac {\pi +2k\pi }{6}})+isin({\frac {\pi +2k\pi }{6}})\!$

$w_{k}=cos({\frac {\pi }{6}}+{\frac {k\pi }{3}})+isin({\frac {\pi }{6}}+{\frac {k\pi }{3}})\!$ បើ k=0;1;2;3;4;5 គេបាន

k=0​ នាំអោយ $w_{0}=cos{\frac {\pi }{6}}+isin{\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i\!$

k=1 នាំអោយ $w_{1}=cos{\frac {\pi }{2}}+isin{\frac {\pi }{2}}=i$

k=2 នាំអោយ $w_{2}=cos{\frac {5\pi }{6}}+isin{\frac {5\pi }{6}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i$

k=3 នាំអោយ $w_{3}=cos{\frac {7\pi }{6}}+isin{\frac {7\pi }{6}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i$

k=4 នាំអោយ $w_{4}=cos{\frac {3\pi }{2}}+isin{\frac {3\pi }{2}}=-i$

k=5 នាំអោយ $w_{5}=cos{\frac {11\pi }{6}}+isin{\frac {11\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i$

សូមមើលផងដែរ

• ផ្នែកនិម្មិត
• ផ្នែកពិត
• កុំផ្លិចឆ្លាស់
• ឯកតានិម្មិត