បំលែងឡាប្លាស

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា បំលែងឡាប្លាស (Laplace transform) ជាបំលែងអាំងតេក្រាលដ៏ល្បីល្បាញមួយក្នុងចំនោមបំលែងជាច្រើន ដែលត្រួវបានគេប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ វាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់​ជាទូទៅដើម្បីធ្វើអោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា​ទៅជាសមីការពិជគណិត​ដែលងាយៗ​ដើម្បីសំរួល​ក្នុងដោះស្រាយ។ បំលែងឡាប្លាសត្រូវបានគេប្រើក្នុងការអនវត្តន៍សំខាន់ៗជាច្រើនក្នុង​គណិតវិទ្យា អុបទិក វិស្វកម្មអគិ្គសនី control engineering , signal processing និងួទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ក្នងគណិតវិទ្យា ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និង សមីការអាំងតេក្រាល។

ប្រវត្តិ

រូបភាព​លោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស​ក្នុងឆ្នាំ១៨៤២

បំលែងឡាប្លាសត្រូវដាក់ឈ្មោះដោយផ្តល់កិត្តិយល់ដល់គណិតវិទូ និង តារាវិទូជនជាតិបារាំងគឺលោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស (Pierre-Simon Laplace) ដែលបានប្រើប្រាស់​បំលែងនេះក្នុងកិច្ចការ​របស់គាត់ចំពោះទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ពីឆ្នាំ១៧៤៤ លេអុណាដ អឺលែរ (Leonhard Euler) បានធ្វើការសង្កេតទៅលើអាំងតេក្រាលដែលមានទំរង់៖

$z=\int X(x)e^{ax}\,dx\,$ និង $z=\int X(x)x^{A}\,dx$

និយមន័យ

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ f(t) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត t ≥ 0 គឺជាអនុគមន៍ F(s) កំនត់ដោយ៖

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

ដែល $\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$ ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលឡាប្លាស។

លក្ខណៈនិងទ្រឹស្តីបទ

គេមានអនុគមន៍ f(t) , g(t) និងបំលែងឡាប្លាសរបស់វារៀងគ្នា F(s) ,G(s):

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\},\qquad g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}$

គេបានតារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាសដូចខាងក្រោម

តារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាស

	អនុគមន៍	បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍	សំគាល់​​​​​​​
លីនែអ៊ែរ	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	អាចទទួលបានដោយប្រើក្បូនគោលនៃអាំងតេក្រាល
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់	$tf(t)\$	$-F'(s)\$
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$	ទំរង់ទូទៅ
ដេរីវេ	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0^{-})\$	ទទួលបានដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក
ដេរីវេទី២	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\$
ដេរីវេទូទៅ	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})\$
អាំងតេក្រាលប្រេកង់	${\frac {f(t)}{t}}\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$
អាំងតេក្រាល	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)$	${1 \over s}F(s)$	$u(t)\,$ ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរ Heaviside (Heaviside step function)។
Scaling	$f(at)\$	${1 \over |a|}F\left({s \over a}\right)$
	$e^{at}f(t)\$	$F(s-a)\$
	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	$u(t)\,$ ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរ Heaviside (Heaviside step function)
	$(f*g)(t)\$	$F(s)\cdot G(s)\$
អនុគមន៍ខួប	$f(t)\$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$	$f(t)\,$ ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T ដែល$f(t)=f(t+T),\;\forall t\geq 0$

• ទ្រឹស្តីបទតំលៃដើម:

$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$

• ទ្រឹស្តីបទតំលៃចុងបំផុត:

$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$,ប្រសិនបើគ្រប់ប៉ូលនៃ $sF(s)$ គឺស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដៃខាងធ្វេង។

លក្ខណៈលីនេអ៊ែរ

${\mathcal {L}}\left\{af+bg\right\}=a\,{\mathcal {L}}\left\{f\right\}+b\,{\mathcal {L}}\left\{g\right\}$

ដេរីវេ

${\mathcal {L}}\{f'\}=p{\mathcal {L}}\{f\}-f(0+)$

${\mathcal {L}}\{f''\}=p^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-pf(0+)-f'(0+)$

${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=p^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-p^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(p)$

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{p}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma$

រូបមន្តទី៥អាចត្រូវបានបង្ហាញលក្ខណៈ

ចេញពីនិយមន័យនៃ ${\mathcal {\,}}F(\sigma )=\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt{\mid }_{p=\sigma }\,$

និង :${\mathcal {\,}}\int _{p}^{\infty }F(\sigma )d{\sigma }=\int _{0}^{\infty }\int _{p}^{\infty }e^{-{\sigma }t}f(t)dtd{\sigma }\,$

${\mathcal {\,}}\Longrightarrow \int _{p}^{\infty }F({\sigma })d{\sigma }=\int _{0}^{\infty }f(t)dt\cdot \int _{p}^{\infty }e^{-{\sigma }t}d{\sigma }\,$

ដោយការគណនាអាំងតេក្រាល

${\mathcal {\,}}\int _{p}^{\infty }F(\sigma )d{\sigma }=\int _{0}^{\infty }f(t)dt\cdot ({\frac {1}{t}}e^{-pt})\,$

ដែលជាបំលែងនៃ ${\mathcal {\,}}{\frac {f(t)}{t}}\,$ ដូច្នេះ ${\mathcal {\,}}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}\,$

ដូច្នេះ  :${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{p}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma$

អាំងតេក្រាល

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over p}{\mathcal {L}}\{f\}$

${\mathcal {L}}\left\{\int _{a}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over p}{\mathcal {L}}\{f\}+{1 \over p}\int _{a}^{0}f(\tau )d\tau$

តំលៃចុងក្រោយ

$\lim _{t\to +\infty }f(t)=\lim _{p\to 0}pF(p)$

តំលែដើម

$\lim _{t\to 0+}f(t)=\lim _{p\to +\infty }pF(p)$

Convolution

${\mathcal {L}}\{f*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}$

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T

${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-Tp}}\int _{0}^{T}e^{-pt}f(t)\,dt$

• គេអាចបង្ហាញរូបមន្តនៃលក្ខណៈដូចតទៅ៖

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-pt}f(t)dt{\mid }_{t=u}+\int _{T}^{2T}e^{-pt}f(t)dt{\mid }_{t=u+T}\int _{2T}^{3T}e^{-pt}f(t)dt{\mid }_{t=u+2T}+...\,$

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-pt}f(u)du+\int _{T}^{2T}e^{-p(u+T)}f(u+T)du+\int _{2T}^{3T}e^{-p(u+2T)}f(u+2T)du+...\,$

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+e^{-pT}\int _{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+e^{-2pT}\int _{0}^{T}e^{-pu}f(u)dT+...\,$

គេផ្តុំតួរនីមួយៗ:

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt=(1+e^{-pT}+e^{-2pT}+...)\int _{0}^{T}e^{-pT}f(T)du{\mid }_{u=t}\,$

ដូចនេះ ${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-Tp}}\int _{0}^{T}e^{-pt}f(t)\,dt$