វិសមភាព យិនសិន

នៅក្នងគណិតវិទ្យា វិសមភាព យិនសិន (Jensin's inequality) ត្រូវបានយកឈ្មោះបន្ទាប់ពីឈ្មោះរបស់លោក យូហាន យិនសិន (Juhan Jensen)។ វិសមភាពនេះនិយាយទាក់ទងទៅភាពប៉ោងនិងភាពផតនៃអនុគមន៍ ហើយវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ដោយលោក យិនសិន នៅឆ្នាំ 1906 ដែលលោកបានអោយនូវលក្ខណៈទូទៅរបស់វា។ វិសមភាពនេះបានចែងដូចខាងក្រោមៈ

• ចំពោះអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ប៉ោងលើចន្លោះ $\mathbb {I} (a,b)$ និងចំពោះ $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in \mathbb {I} (a,b)$ គេបានៈ

${\frac {f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})}{n}}\geq f({\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}})$

• ចំពោះអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ផតលើចន្លោះ $\mathbb {I} (a,b)$ និងចំពោះ $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in \mathbb {I} (a,b)$ គេបានៈ

${\frac {f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})}{n}}\leq f({\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}})$

វិមសភាពនេះត្រូវបានអោយក្រោមទំរង់ទូទៅដូចខាងក្រោមៈ

• ចំពោះអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ប៉ោងលើចន្លោះ $\mathbb {I} (a,b)$ និងចំពោះ $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in \mathbb {I} (a,b)$ និងចំពោះ $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}>0;\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1;\forall {n\in \mathbb {N^{*}} }$ គេបានៈ

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(x_{i})\geq f(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i})$

• ចំពោះអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ផតលើចន្លោះ $\mathbb {I} (a,b)$ និងចំពោះ $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in \mathbb {I} (a,b)$ និងចំពោះ $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}>0;\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1;\forall {n\in \mathbb {N^{*}} }$ គេបានៈ

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(x_{i})\leq f(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i})$

ឬក៏គេអាចសរសេរនូវរាងមួយទៀតគឺៈ

• ចំពោះអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ប៉ោងលើចន្លោះ $\mathbb {I} (a,b)$ និងចំពោះ $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in \mathbb {I} (a,b)$ និងចំពោះ $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}>0;\forall {n\in \mathbb {N^{*}} }$ គេបានៈ

$\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\alpha _{i}f(x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}}{\biggl )}\geq f{\biggl (}{\frac {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}}{\biggl )}$

• ចំពោះអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ផតលើចន្លោះ $\mathbb {I} (a,b)$ និងចំពោះ $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in \mathbb {I} (a,b)$ និងចំពោះ $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}>0;\forall {n\in \mathbb {N^{*}} }$ គេបានៈ

$\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\alpha _{i}f(x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}}{\biggl )}\leq f{\biggl (}{\frac {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}}{\biggl )}$

• ចំណាំៈ $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+...+x_{n}$