វិសមភាពស្យ៉ឺរ

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា, វិសមភាពស្យ៉ឺរ (Schur's inequality) ត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះដោយយកតាមឈ្មោះរបស់លោក អ៊ីសសាយ ស្យ៉ឺរ (Issai Schur) ។ វិសមភាពនេះចែងថា​ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត​មិនអវិជ្ជមាន x y z និងចំនួនវិជ្ជមាន t គេបាន

$x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0$

វិសមភាពនេះក្លាយសមភាពលុះត្រាតែ x = y = z ឬ តួពីរក្នុងចំនោមតួទាំងបីនេះស្មើគ្នា និងតួមួយផ្សេងទៀតមានតំលៃស្មើសូន្យ។ នៅពេល t ជាចំនួនគត់វិជ្ជមានហើយគូរ នោះវិសមភាពគឺពិតចំពោះចំនួនពិត x, y និង z ។

សំរាយបញ្ជាក់

ដោយសារតែ$x,y,z\,$ឆ្លុះចំពោះវិសមភាព យើងអាចសន្មតថាវាមិនបាត់បង់លក្ខណៈទូទៅដែលថា $x\geq y\geq z\,$ទេ។ គេបានវិសមភាពអាចសំដែងជារាង

$(x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0\,$

គ្រប់តួរនិមួយៗនៅអង្គខាងធ្វេងនៃសមីការគឺមិនអាចអវិជ្ជមានទេ។

ការពន្លាត

លក្ខណៈទូទៅនៃវិសមភាពស្យ៉ឺរ (Schur's inequality) ឧបមា a,b,c គឺជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ (a,b,c) និង (x,y,z) គឺ similarly sorted នោះគឺគេបាន៖

$a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0$

នៅក្នុងឆ្នាំ២០០៧ អ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិរ៉ូម៉ានីឈ្មោះ Valentin Vornicu បានបង្ហាញថាទំរង់លក្ខណ៖ពិសេសនៃវិសមភាពស្យ៉ឺរនៅមានបន្ថែមទៀត៖

គេមាន $a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R}$, ដែល$a\geq b\geq c$, និង $x\geq y\geq z$ ឬ $z\geq y\geq x$។ តាង$k\in \mathbb {Z} ^{+}$, និងតាង $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$ អាចជាអនុគមន៍ផត ឬម៉ូណូតូន។ នោះគេបាន

${f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}\,$

ទំរង់ស្តង់ដានៃវិសមភាពស្យ៉ឺរគឺជាករណីនៃវិសមភាពនេះដែល x = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = m^r ។

សំរាយបញ្ជាក់

ចំណាំៈ បើ $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$ ជាអនុគមន៍ផតហើយចំពោះ $m\geq n\geq 0;p\geq n\geq 0$ និងចំពោះ $a,b,c\in I$ គេបាន:

$mf(a)-nf(b)+pf(c)\geq 0$  ;(I)

យើងពិនិត្យករណី k ជាចំនួនគូនោះវិសមភាពខាងលើពិតជានិច្ច។ ហើយបើករណី k ជាចំនួនសេសវិញវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ

$(a-b)^{k}(a-c)^{k}f(x)-(a-b)^{k}(b-c)^{k}f(y)+(a-c)^{k}(b-c)^{k}f(z)\geq 0$

បន្ទាប់មកយើងតាង $m=(a-b)^{k}(a-c)^{k};n=(a-b)^{k}(b-c)^{k};p=(a-c)^{k}(b-c)^{k};a\geq b\geq c$

$m-n=(a-b)^{k}((a-c)^{k}-(b-c)^{k})\geq 0\Longrightarrow m\geq n$

$p-n=(b-c)^{k}((a-c)^{k}-(a-b)^{k})\geq 0\Longrightarrow p\geq n$

ដូចនេះយើងបាន $mf(x)-nf(y)+pf(z)\geq 0$

$\Longrightarrow (a-b)^{k}(a-c)^{k}f(x)-(a-b)^{k}(b-c)^{k}f(y)+(a-c)^{k}(b-c)^{k}f(z)\geq 0$ ពិត ។

សរុបទាំងពីរករណីខាងលើយើងបានចំលើយពិត។

ចំពោះវិសមភាព (I) ខាងលើយនេះប្រហែលជាមិនទាន់មានសៀវភៅណាមួយបានបោះពុម្ពផ្សាយនៅឡើយទេ។ ហើយចំពោះការស្រាយបញ្ជាក់សូមចូលមកទំព័រ:V-K

សូមមើលផងដែរ

• វិសមភាព