|
|
បន្ទាត់ទី១៖ |
បន្ទាត់ទី១៖ |
|
'''ចំនួនកុំផ្លិច''' ({{lang-en|complex number}}) ជាចំនួនដែលអាចសំដែងជាទំរង់ <math>a + bi \,</math> ដែល <math> a \,</math> និង <math> b \,</math>ជាចំនួនពិត និង <math>i\,</math>ជា[[ឯកតានិមិ្មត]] (<math>i= \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1</math>)។ |
|
'''ចំនួនកុំផ្លិច''' ({{lang-en|complex number}}) ជាចំនួនដែលអាចសំដែងជាទម្រង់ <math>a + bi \,</math> ដែល <math> a \,</math> និង <math> b \,</math>ជាចំនួនពិត និង <math>i\,</math>ជា[[ឯកតានិមិ្មត]] (<math>i= \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1</math>)។ |
|
== និយមន័យ == |
|
== និយមន័យ == |
|
*ឯកតានិមិ្មត <math>i= \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1</math> |
|
*ឯកតានិមិ្មត <math>i= \sqrt{\color{Red}-1} ,\quad i^2= -1</math> |
បន្ទាត់ទី១៣៖ |
បន្ទាត់ទី១៣៖ |
|
:* ផលចែក: <math>\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,</math> |
|
:* ផលចែក: <math>\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,</math> |
|
|
|
|
|
|
=== ប្លង់កុំផ្លិច === |
|
=== ផ្លង់កុំផ្លិច === |
|
|
[[រូបភាព:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|លក្ខណៈធរណីមាត្រនៃ<math>z</math> និងចំលាស់របស់វា<math>\bar{z}</math>ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច]] |
|
[[រូបភាព:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|លក្ខណៈធរណីមាត្រនៃ<math>z</math> និងចំលាស់របស់វា<math>\bar{z}</math>ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច]] |
|
=== តំលៃដាច់ខាតនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ === |
|
=== តំលៃដាច់ខាតនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ === |
បន្ទាត់ទី២១៖ |
បន្ទាត់ទី២១៖ |
|
: <math>\bar{\bar{z}}=z</math> |
|
: <math>\bar{\bar{z}}=z</math> |
|
: <math>\bar{z}=z</math> ប្រសិនបើ ''z'' ជាចំនួនពិតសុទ្ធ |
|
: <math>\bar{z}=z</math> ប្រសិនបើ ''z'' ជាចំនួនពិតសុទ្ធ |
|
: <math>\bar{z}=-z</math> iប្រសិនបើ ''z'' ជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ |
|
: <math>\bar{z}=-z</math> ប្រសិនបើ ''z'' ជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ |
|
: <math>|z|=|\bar{z}|</math> |
|
: <math>|z|=|\bar{z}|</math> |
|
: <math>|z|^2 = z\cdot\bar{z}</math> |
|
: <math>|z|^2 = z\cdot\bar{z}</math> |
|
: <math>z^{-1} = \bar{z}\cdot|z|^{-2}</math> ប្រសិនបើ ''z'' មិនស្មើសូន្យ |
|
: <math>z^{-1} = \bar{z}\cdot|z|^{-2}</math> ប្រសិនបើ ''z'' ខុសពីសូន្យ |
|
|
|
|
|
=== ប្រភាគនៃចំនួនកុំផ្លិច === |
|
=== ប្រភាគនៃចំនួនកុំផ្លិច === |
បន្ទាត់ទី៣២៖ |
បន្ទាត់ទី៣២៖ |
|
\end{align} |
|
\end{align} |
|
</math> |
|
</math> |
|
|
==ទម្រង់ប៉ូលែរ == |
|
==ទំរង់ប៉ូលែរ == |
|
|
|
កូអរដោនេប៉ូលែក្នុងតម្រុយដេកាត |
|
កូអរដោនេប៉ូលែក្នុងតំរុយដេកាត |
|
|
:<math>x = r \cos \varphi</math> |
|
:<math>x = r \cos \varphi</math> |
|
:<math>y = r \sin \varphi</math> |
|
:<math>y = r \sin \varphi</math> |
បន្ទាត់ទី៤១៖ |
បន្ទាត់ទី៤១៖ |
|
<math>x + iy = re^{i\varphi}\!</math><br> |
|
<math>x + iy = re^{i\varphi}\!</math><br> |
|
|
|
|
|
|
==ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និង ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច== |
|
==ទំរង់ត្រីកោណមាត្រ និងម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច== |
|
|
|
|
|
|
:<math>a+bi = r(cos\alpha+isin\alpha) \!</math>, ដែល <math>r \! </math> ជាម៉ូឌុលនៃ <math>a+bi \!</math> ។ <br> <math> r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\!</math> <br> |
|
:<math>a+bi = r(cos\alpha+isin\alpha) \!</math>, ដែល <math>r \! </math> ជាម៉ូឌុលនៃ <math>a+bi \!</math> ។ <br> <math> r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\!</math> <br> |
|
<math>cos\alpha = \frac{a}{r} ; sin\alpha = \frac{b}{r}\!</math> |
|
<math>cos\alpha = \frac{a}{r} ; sin\alpha = \frac{b}{r}\!</math> |
|
<div style="font-size: 150%; color: Blue;"> |
|
<div style="font-size: 150%; color: Blue;"> |
|
ទ្រឹស្តីបទ :</div> បើគេមានទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកំផ្លិច <math>z_1\!</math> និង <math>z_2\!</math> ដែល <math>z_1 = r_1(cos\alpha_1 + isin\alpha_1)\!</math> និង <math>z_2 = r_2(cos\alpha_2 + isin\alpha_2)\!</math>គេបាន <br>
|
|
ទ្រឹស្តីបទ៖</div> បើគេមានទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកំផ្លិច <math>z_1\!</math> និង <math>z_2\!</math> ដែល <math>z_1 = r_1(cos\alpha_1 + isin\alpha_1)\!</math> និង <math>z_2 = r_2(cos\alpha_2 + isin\alpha_2)\!</math>គេបាន <br> |
|
ក) <math>z_1z_2 = r_1r_2[cos(\alpha + \alpha) + isin(\alpha_1 + \alpha_2)]\!</math><br><br> |
|
ក) <math>z_1z_2 = r_1r_2[cos(\alpha + \alpha) + isin(\alpha_1 + \alpha_2)]\!</math><br><br> |
|
ខ) <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[cos(\alpha_1 - \alpha_2) + isin(\alpha_1 - \alpha_2)]\!</math><br> |
|
ខ) <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[cos(\alpha_1 - \alpha_2) + isin(\alpha_1 - \alpha_2)]\!</math><br> |
|
<div style="font-size: 150%; color: Blue;"> |
|
<div style="font-size: 150%; color: Blue;"> |
|
ទ្រឹស្តីបទ :</div> បើ <math>z\!</math> ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន <math>|z|^2 = z \cdot \bar{z}\!</math> ។
|
|
ទ្រឹស្តីបទ៖</div> បើ <math>z\!</math> ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន <math>|z|^2 = z \cdot \bar{z}\!</math> ។ |
|
|
|
|
|
<div style="font-size: 150%; color: Blue;"> |
|
<div style="font-size: 150%; color: Blue;"> |
|
លក្ខណៈ</div> គេអោយ <math>w\!</math> និង <math>z\!</math> ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន |
|
លក្ខណៈ</div> គេឲ្យ <math>w\!</math> និង <math>z\!</math> ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន |
|
ក) <math>|wz| = |w| \cdot |z|\!</math> </br> |
|
ក) <math>|wz| = |w| \cdot |z|\!</math> </br> |
|
ខ) <math>|\frac{w}{z}| = \frac{|w|}{|z|} ; z\ne0\!</math></br> |
|
ខ) <math>|\frac{w}{z}| = \frac{|w|}{|z|} ; z\ne0\!</math></br> |
បន្ទាត់ទី៦៦៖ |
បន្ទាត់ទី៦៦៖ |
|
<math>Z^n = Z^{n-1} \cdot Z = r^n(cosn\alpha+isin\alpha)\!</math><br><br> |
|
<math>Z^n = Z^{n-1} \cdot Z = r^n(cosn\alpha+isin\alpha)\!</math><br><br> |
|
<div style="font-size: 150%; color: Blue;"> |
|
<div style="font-size: 150%; color: Blue;"> |
|
ជាទូទៅ : </div> <math>Z^n = [r(cos\alpha + isin\alpha)]^n = r^n(cosn\alpha + isinn\alpha)\!</math> គ្រប់ <math>n \in \mathbb{Z}\!</math> គេទាញបាន <math>(cos\alpha + isin\alpha)^n = (cosn\alpha + isinn\alpha) \!</math>ហៅថា ទ្រឹស្តីបទដឺម័រ។<br><br>
|
|
ជាទូទៅ៖ </div><nowiki> </nowiki><math>Z^n = [r(cos\alpha + isin\alpha)]^n = r^n(cosn\alpha + isinn\alpha)\!</math> គ្រប់ <math>n \in \mathbb{Z}\!</math> គេទាញបាន <math>(cos\alpha + isin\alpha)^n = (cosn\alpha + isinn\alpha) \!</math>ហៅថា ទ្រឹស្តីបទដឺម័រ។<br><br> |
|
ឧទាហរណ៍: គណនា <math>(1+i)^{50}\!</math><br><br> |
|
ឧទាហរណ៍: គណនា <math>(1+i)^{50}\!</math><br><br> |
|
តាង <math>z=1+i\!</math> គេបាន <math>z=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4} + isin\frac{\pi}{4})\!</math><br><b> |
|
តាង <math>z=1+i\!</math> គេបាន <math>z=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4} + isin\frac{\pi}{4})\!</math><br><b> |
ចំនួនកុំផ្លិច (អង់គ្លេស: complex number) ជាចំនួនដែលអាចសំដែងជាទម្រង់ ដែល និង ជាចំនួនពិត និង ជាឯកតានិមិ្មត ()។
និយមន័យ
- ឯកតានិមិ្មត
- a ជាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Real Part)
- b ជាផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Imaginary part)
ប្រមាណវិធី
៖
- ផលបូក:
- ផលដក:
- ផលគុណ:
- ផលចែក:
ប្លង់កុំផ្លិច
តំលៃដាច់ខាតនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់
- ប្រសិនបើ z ជាចំនួនពិតសុទ្ធ
- ប្រសិនបើ z ជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ
- ប្រសិនបើ z ខុសពីសូន្យ
ប្រភាគនៃចំនួនកុំផ្លិច
ទម្រង់ប៉ូលែរ
កូអរដោនេប៉ូលែក្នុងតម្រុយដេកាត
ផ្ទុយមកវិញ
ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និង ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច
- , ដែល ជាម៉ូឌុលនៃ ។
ទ្រឹស្តីបទ៖
បើគេមានទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកំផ្លិច និង ដែល និង គេបាន
ក)
ខ)
ទ្រឹស្តីបទ៖
បើ ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន ។
លក្ខណៈ
គេឲ្យ និង ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន
ក)
ខ)
គ)
ស្វ័យគុណទី នៃចំនួនកុំផ្លិច
គេមាន ។
តាមរូបមន្ត
គេបាន
........................................................................................
ជាទូទៅ៖
គ្រប់ គេទាញបាន ហៅថា ទ្រឹស្តីបទដឺម័រ។
ឧទាហរណ៍: គណនា
តាង គេបាន
តាមទ្រឹស្តីបទដឺម័រ
ដូចនេះ
រឹសទី នៃចំនួនកុំផ្លិច
បើចំនួនកុំផ្លិចមេនសូន្យ Z មានរឹសទី n គឺ W គេបាន ។ ទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច Z និង W គឺ និង
គេបាន
ដោយ គេបាន
ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា ម៉ូឌុលរបស់វាក៏ស្មើគ្នាដែរ។
ដូចនេះ ។ ដោយ និង នាំអោយ ។
គេបាន នាំអោយ ។
ជំនួស និង ក្នុងទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច គេបាន ។
បើគេជំនួស គេបាន n រឹសទី n ផ្សេងៗគ្នានៃ Z ។
ទ្រឹស្តីបទ :
បើ ជាចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ ហើយ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាននោះ Z មានរឹសទី n គឺ :
បើ k=0;1;2;...;n-1 នោះ Z មានរឹសទី n គឺ ។
ឧទាហរណ៍ : គណនារឹសទី 6 នៃ -1
តាង Z = -1 + 0i គេបាន ។
និង នាំអោយ ។
n = 6 យើងគណនារឹសទី 6 នៃ Z = -1 + 0i ។
បើ k=0;1;2;3;4;5 គេបាន
k=0 នាំអោយ
k=1 នាំអោយ
k=2 នាំអោយ
k=3 នាំអោយ
k=4 នាំអោយ
k=5 នាំអោយ
សូមមើលផងដែរ