បំលែងឡាប្លាស

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា បំលែងឡាប្លាស (Laplace transform) ជាបំលែងអាំងតេក្រាលដ៏ល្បីល្បាញមួយក្នុងចំនោមបំលែងជាច្រើន ដែលត្រួវបានគេប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ វាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់​ជាទូទៅដើម្បីធ្វើអោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា​ទៅជាសមីការពិជគណិត​ដែលងាយៗ​ដើម្បីសំរួល​ក្នុងដោះស្រាយ។ បំលែងឡាប្លាសត្រូវបានគេប្រើក្នុងការអនវត្តន៍សំខាន់ៗជាច្រើនក្នុង​គណិតវិទ្យា អុបទិក វិស្វកម្មអគិ្គសនី control engineering , signal processing និងួទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ក្នងគណិតវិទ្យា ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និង សមីការអាំងតេក្រាល។

ប្រវត្តិ

រូបភាព​លោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស​ក្នុងឆ្នាំ១៨៤២

បំលែងឡាប្លាសត្រូវដាក់ឈ្មោះដោយផ្តល់កិត្តិយល់ដល់គណិតវិទូ និង តារាវិទូជនជាតិបារាំងគឺលោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស (Pierre-Simon Laplace) ដែលបានប្រើប្រាស់​បំលែងនេះក្នុងកិច្ចការ​របស់គាត់ចំពោះទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ពីឆ្នាំ១៧៤៤ លេអុណាដ អឺលែរ (Leonhard Euler) បានធ្វើការសង្កេតទៅលើអាំងតេក្រាលដែលមានទំរង់៖

$z=\int X(x)e^{ax}\,dx{\text{ and }}z=\int X(x)x^{A}\,dx$

និយមន័យ

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ f(t) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត t ≥ 0 គឺជាអនុគមន៍ F(s) កំនត់ដោយ៖

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

ដែល $\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$ ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលឡាប្លាស។

លក្ខណៈនិងទ្រឹស្តីបទ

គេមានអនុគមន៍ f(t) , g(t) និងបំលែងឡាប្លាសរបស់វារៀងគ្នា F(s) ,G(s):

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\},\qquad g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}$

គេបានតារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាសដូចខាងក្រោម

តារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាស ​​  !

អនុគមន៍	បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍	សំគាល់​​​​​​​
	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	អាចទទួលបានដោយប្រើក្បូនគោលនៃអាំងតេក្រាល
លីនែអ៊ែរ	$tf(t)\$	$-F'(s)\$
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$	ទំរង់ទូទៅ
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0^{-})\$	ទទួលបានដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក
ដេរីវេ	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\$
ដេរីវេទូទៅ	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})\$
ដេរីវេទី២	${\frac {f(t)}{t}}\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$
អាំងតេក្រាលប្រេកង់	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)$	${1 \over s}F(s)$	$u(t)\,$ ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរ Heaviside (Heaviside step function)។
អាំងតេក្រាល	$f(at)\$	${1 \over |a|}F\left({s \over a}\right)$
Scaling	$e^{at}f(t)\$	$F(s-a)\$
	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	$u(t)\,$ ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរ Heaviside (Heaviside step function)
	$(f*g)(t)\$	$F(s)\cdot G(s)\$
អនុគមន៍ខួប	$f(t)\$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$	$f(t)\,$ ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T ដែល$f(t)=f(t+T),\;\forall t\geq 0$

• ទ្រឹស្តីបទតំលៃដើម:

$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$

• ទ្រឹស្តីបទតំលៃចុងបំផុត:

$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$,ប្រសិនបើគ្រប់ប៉ូលនៃ $sF(s)$ គឺស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដៃខាងធ្វេង។