|
|
បន្ទាត់ទី៦៩៖ |
បន្ទាត់ទី៦៩៖ |
|
| <math> \int_0^t f(\tau)\, d\tau = u(t) * f(t)</math> |
|
| <math> \int_0^t f(\tau)\, d\tau = u(t) * f(t)</math> |
|
| <math> {1 \over s} F(s) </math> |
|
| <math> {1 \over s} F(s) </math> |
|
| <math> u(t) \,</math> ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរ Heaviside (Heaviside step function)។ |
|
| <math> u(t) \,</math> ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ (Heaviside step function)។ |
|
|- |
|
|- |
|
! Scaling |
|
! Scaling |
បន្ទាត់ទី៨៤៖ |
បន្ទាត់ទី៨៤៖ |
|
| <math> f(t - a) u(t - a) \ </math> |
|
| <math> f(t - a) u(t - a) \ </math> |
|
| <math> e^{-as} F(s) \ </math> |
|
| <math> e^{-as} F(s) \ </math> |
|
| <math> u(t) \,</math> ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរ Heaviside (Heaviside step function) |
|
| <math> u(t) \,</math> ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ |
|
|- |
|
|- |
|
! |
|
! |
បន្ទាត់ទី១៦២៖ |
បន្ទាត់ទី១៦២៖ |
|
ដូចនេះ <math>\mathcal{L}\{ f \}={1 \over 1 - e^{-Tp}} \int_0^T e^{-pt} f(t)\,dt</math> |
|
ដូចនេះ <math>\mathcal{L}\{ f \}={1 \over 1 - e^{-Tp}} \int_0^T e^{-pt} f(t)\,dt</math> |
|
|
|
|
|
|
== តារាងរូបមន្តសង្ខេបបំលែងឡាប្លាស == |
|
|
តារាងខាងក្រោមផ្តល់នូវរូបមន្តបំលែងឡាប្លាសទូទៅនៃអថេរមួយ។ ចំពោះនិយមន័យនិងសេចក្តីពន្យល់សូមមើល'''សំគាល់ផ្នែកខាងចុងនៃតារាង'''។ |
|
|
* បំលែងឡាប្លាសនៃផលបូកគឺជាផលបូកនៃបំលែងឡាប្លាសនៃតួរនិមួយៗ។ |
|
|
|
|
|
|
::<math>\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\} </math> |
|
|
|
|
|
* បំលែងឡាប្លាសច្រើនដងនៃអនុគមន៍មួយគឺមានបំលែងឡាប្លាសជាចំនួនច្រើនដងនៃអនុគមន៍នោះ។ |
|
|
::<math>\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}</math> |
|
|
|
|
|
បំលែងឡាប្លាសតែឯងគឺពិតជាត្រឹមត្រូវនៅពែល t ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន ដែលគ្រប់អនុគមន៍ដើមក្នុងតារាងគឺជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយជាច្រើន u(''t'') ។ |
|
|
|
|
|
{| class="wikitable" |
|
|
|- |
|
|
! ID || ឈ្មោះអនុគមន៍ || អនុគមន៍ដើម <br> <math>x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}</math> || បំលែងឡាប្លាស <br> <math>X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}</math> || Region of convergence <br> ''for causal system|causal systems'' |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 1 || ideal delay || <math> \delta(t-\tau) \ </math> || <math> e^{-\tau s} \ </math> || |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 1a || [[Dirac delta function|unit impulse]] || <math> \delta(t) \ </math> || <math> 1 \ </math> || <math> \mathrm{all} \ s \,</math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 2 || delayed ''n''th power <br /> with frequency shift || <math>\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau) </math> || <math> \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 2a || ស្វ័យគុណទី ''n'' <br /> ( ចំពោះចំនួនគត់ ''n'' ) || <math>{ t^n \over n! } \cdot u(t) </math> || <math> { 1 \over s^{n+1} } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 2a.1 || ស្វ័យគុណទី ''q'' <br /> (ចំនួនពិត ''q'' ) || <math>{ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t) </math> || <math> { 1 \over s^{q+1} } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
|
|
|
| 2a.2 || អនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ || <math> u(t) \ </math> || <math> { 1 \over s } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 2b || delayed unit step || <math> u(t-\tau) \ </math> || <math> { e^{-\tau s} \over s } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 2c || ramp || <math> t \cdot u(t)\ </math> || <math>\frac{1}{s^2}</math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 2d || ''n''th power with frequency shift || <math>\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) </math> || <math>\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}</math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > - \alpha \, </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 2d.1 || exponential decay || <math> e^{-\alpha t} \cdot u(t) \ </math> || <math> { 1 \over s+\alpha } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > - \alpha \ </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 3 || exponential approach || <math>( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ </math> || <math>\frac{\alpha}{s(s+\alpha)} </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0\ </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 4 || [[ស៊ីនុស]] || <math> \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \omega \over s^2 + \omega^2 } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \ </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 5 || [[កូស៊ីនុស]] || <math> \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { s \over s^2 + \omega^2 } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \ </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 6 || [[ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក]] || <math> \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > | \alpha | \ </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 7 || [[កូស៊ីនុសអ៊ីពែលីក]] || <math> \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { s \over s^2 - \alpha^2 } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > | \alpha | \ </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 8 || Exponentially-decaying <br /> sine wave || <math>e^{\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \omega \over (s-\alpha )^2 + \omega^2 } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > \alpha \ </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 9 || Exponentially-decaying <br /> cosine wave || <math>e^{\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { s-\alpha \over (s-\alpha )^2 + \omega^2 } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > \alpha \ </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 10 || រឺសទី''n'' || <math> \sqrt[n]{t} \cdot u(t) </math> || <math> s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)</math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 11 || [[លោការីតធម្មជាតិ]] || <math> \ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) </math> || <math> - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ] </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 12 || Bessel function <br> of the first kind, <br /> of order ''n'' || <math> J_n( \omega t) \cdot u(t)</math> || <math>\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}</math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math> <br /> <math> (n > -1) \, </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 13 || Modified Bessel function <br /> of the first kind, <br /> of order ''n'' || <math>I_n(\omega t) \cdot u(t)</math> || <math> \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > | \omega | \, </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 14 || Bessel function <br /> of the second kind, <br /> of order 0 || <math> Y_0(\alpha t) \cdot u(t)</math> || <math>-{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}}</math> || <math>\textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math> |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 15 || Modified Bessel function <br /> of the second kind, <br /> of order 0 || <math> K_0(\alpha t) \cdot u(t)</math> || || |
|
|
|- align="center" |
|
|
| 16 || Error function || <math> \mathrm{erf}(t) \cdot u(t) </math> || <math> {e^{s^2/4} \left(1 - \operatorname{erf} \left(s/2\right)\right) \over s}</math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math> |
|
|
|- |
|
|
|colspan=5|'''សំគាល់:''' |
|
|
{{col-begin}} |
|
|
{{col-break}} |
|
|
* <math> u(t) \, </math> តំណាងអោយអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ |
|
|
* <math> \delta(t) \, </math> តំណាងអោយ Dirac delta function |
|
|
* <math> \Gamma (z) \, </math> តំណាងអោយហ្គាំម៉ា |
|
|
* <math> \gamma \, </math> ជាថេរអឺលែរម៉ាសឆេរ៉ូនី |
|
|
{{col-break}} |
|
|
* <math>t \, </math> ជាចំនួនពិតតំណាងអោយពេល (''time'') |
|
|
* <math>s \, </math> ជា[[ចំនួនកុំផ្លិច angular frequency និង<math>\textrm{Re} \{ s \}</math> ជា[[ផ្នែកពិត]]. |
|
|
* <math> \alpha \,</math>, <math> \beta \,</math>, <math> \tau \, </math>, និង <math>\omega \,</math> ចំនួនពិត |
|
|
* <math>n \, </math> ជាចំនួនគត់ |
|
|
{{col-end}} |
|
|
|} |
|
|
|
|
|
[[Category:សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល]] |
|
[[Category:សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល]] |
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា បំលែងឡាប្លាស (Laplace transform) ជាបំលែងអាំងតេក្រាលដ៏ល្បីល្បាញមួយក្នុងចំនោមបំលែងជាច្រើន ដែលត្រួវបានគេប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ វាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ជាទូទៅដើម្បីធ្វើអោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាទៅជាសមីការពិជគណិតដែលងាយៗដើម្បីសំរួលក្នុងដោះស្រាយ។ បំលែងឡាប្លាសត្រូវបានគេប្រើក្នុងការអនវត្តន៍សំខាន់ៗជាច្រើនក្នុងគណិតវិទ្យា អុបទិក វិស្វកម្មអគិ្គសនី control engineering , signal processing និងួទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។
ក្នងគណិតវិទ្យា ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និង សមីការអាំងតេក្រាល។
ប្រវត្តិ
បំលែងឡាប្លាសត្រូវដាក់ឈ្មោះដោយផ្តល់កិត្តិយល់ដល់គណិតវិទូ និង តារាវិទូជនជាតិបារាំងគឺលោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស (Pierre-Simon Laplace) ដែលបានប្រើប្រាស់បំលែងនេះក្នុងកិច្ចការរបស់គាត់ចំពោះទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។
ពីឆ្នាំ១៧៤៤ លេអុណាដ អឺលែរ (Leonhard Euler) បានធ្វើការសង្កេតទៅលើអាំងតេក្រាលដែលមានទំរង់៖
- និង
និយមន័យ
បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ f(t) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត t ≥ 0 គឺជាអនុគមន៍ F(s) កំនត់ដោយ៖
ដែល ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលឡាប្លាស។
លក្ខណៈនិងទ្រឹស្តីបទ
គេមានអនុគមន៍ f(t) , g(t) និងបំលែងឡាប្លាសរបស់វារៀងគ្នា F(s) ,G(s):
គេបានតារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាសដូចខាងក្រោម
តារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាស
|
អនុគមន៍
|
បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍
|
សំគាល់
|
លីនែអ៊ែរ
|
|
|
អាចទទួលបានដោយប្រើក្បូនគោលនៃអាំងតេក្រាល
|
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់
|
|
|
|
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់
|
|
|
ទំរង់ទូទៅ
|
ដេរីវេ
|
|
|
ទទួលបានដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក
|
ដេរីវេទី២
|
|
|
|
ដេរីវេទូទៅ
|
|
|
|
អាំងតេក្រាលប្រេកង់
|
|
|
|
អាំងតេក្រាល
|
|
|
ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ (Heaviside step function)។
|
Scaling
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ
|
|
|
|
|
អនុគមន៍ខួប
|
|
|
ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T ដែល
|
- ,ប្រសិនបើគ្រប់ប៉ូលនៃ គឺស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដៃខាងធ្វេង។
លក្ខណៈលីនេអ៊ែរ
ដេរីវេ
រូបមន្តទី៥អាចត្រូវបានបង្ហាញលក្ខណៈ
- ចេញពីនិយមន័យនៃ
- និង :
ដោយការគណនាអាំងតេក្រាល
- ដែលជាបំលែងនៃ ដូច្នេះ
- ដូច្នេះ :
តំលៃចុងក្រោយ
តំលែដើម
Convolution
បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T
- គេអាចបង្ហាញរូបមន្តនៃលក្ខណៈដូចតទៅ៖
គេផ្តុំតួរនីមួយៗ:
ដូចនេះ
តារាងរូបមន្តសង្ខេបបំលែងឡាប្លាស
តារាងខាងក្រោមផ្តល់នូវរូបមន្តបំលែងឡាប្លាសទូទៅនៃអថេរមួយ។ ចំពោះនិយមន័យនិងសេចក្តីពន្យល់សូមមើលសំគាល់ផ្នែកខាងចុងនៃតារាង។
- បំលែងឡាប្លាសនៃផលបូកគឺជាផលបូកនៃបំលែងឡាប្លាសនៃតួរនិមួយៗ។
- បំលែងឡាប្លាសច្រើនដងនៃអនុគមន៍មួយគឺមានបំលែងឡាប្លាសជាចំនួនច្រើនដងនៃអនុគមន៍នោះ។
បំលែងឡាប្លាសតែឯងគឺពិតជាត្រឹមត្រូវនៅពែល t ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន ដែលគ្រប់អនុគមន៍ដើមក្នុងតារាងគឺជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយជាច្រើន u(t) ។
ID |
ឈ្មោះអនុគមន៍ |
អនុគមន៍ដើម |
បំលែងឡាប្លាស |
causal systems
|
1 |
ideal delay |
|
|
|
1a |
unit impulse |
|
|
|
2 |
delayed nth power with frequency shift |
|
|
|
2a |
ស្វ័យគុណទី n ( ចំពោះចំនួនគត់ n ) |
|
|
|
2a.1 |
ស្វ័យគុណទី q (ចំនួនពិត q ) |
|
|
|
2a.2 |
អនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ |
|
|
|
2b |
delayed unit step |
|
|
|
2c |
ramp |
|
|
|
2d |
nth power with frequency shift |
|
|
|
2d.1 |
exponential decay |
|
|
|
3 |
exponential approach |
|
|
|
4 |
ស៊ីនុស |
|
|
|
5 |
កូស៊ីនុស |
|
|
|
6 |
ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក |
|
|
|
7 |
កូស៊ីនុសអ៊ីពែលីក |
|
|
|
8 |
Exponentially-decaying sine wave |
|
|
|
9 |
Exponentially-decaying cosine wave |
|
|
|
10 |
រឺសទីn |
|
|
|
11 |
លោការីតធម្មជាតិ |
|
|
|
12 |
Bessel function of the first kind, of order n |
|
|
|
13 |
Modified Bessel function of the first kind, of order n |
|
|
|
14 |
Bessel function of the second kind, of order 0 |
|
|
|
15 |
Modified Bessel function of the second kind, of order 0 |
|
|
|
16 |
Error function |
|
|
|
សំគាល់:
- តំណាងអោយអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ
- តំណាងអោយ Dirac delta function
- តំណាងអោយហ្គាំម៉ា
- ជាថេរអឺលែរម៉ាសឆេរ៉ូនី
|
- ជាចំនួនពិតតំណាងអោយពេល (time)
- ជា[[ចំនួនកុំផ្លិច angular frequency និង ជាផ្នែកពិត.
- , , , និង ចំនួនពិត
- ជាចំនួនគត់
|
|