ទ្រឹស្តីបទ ស៊ីនុស៖ ភាពខុសគ្នារវាងកំណែនានា
ខ្លឹមសារដែលបានលុបចោល ខ្លឹមសារដែលបានសរសេរបន្ថែម
ត រ៉ូបូ បន្ថែម: als:Sinussatz |
ត បញ្ជូនបន្តទៅ ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស |
||
បន្ទាត់ទី១៖ | បន្ទាត់ទី១៖ | ||
#ប្តូរទីតាំង [[ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស]] |
|||
នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ '''ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស''' (ឬច្បាប់ស៊ីនុស ឬរូបមន្តស៊ីនុស) ជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាអំពី[[ត្រីកោណ]]នៅក្នុង[[ប្លង់]]។ |
|||
== ទ្រឹស្តីបទ == |
|||
[[ឯកសារ:ត្រីកោណABCនិងរង្វង់ចារិកក្រៅកាំR.png|រូបតូច|ស្តាំ|[[ត្រីកោណ]] ABC ដែលមានជ្រុង a, b, c, ក្រលាផ្ទៃ S រង្វង់ចារឹកក្រៅ[[កាំ]] R និង[[មុំ]] A, B, C]] |
|||
គេមាន[[ត្រីកោណ]] ABC ដែលមានជ្រុង a, b និង c និង A, B និង C ជាមុំឈមនៃជ្រុងទាំងនេះ(∠A=''A'', ∠B=''B'', ∠C=''C'') និង<math>R \,</math> ជាកាំនៃ[[រង្វង់]]ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះគេបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសបង្ហាញដូចខាងក្រោម |
|||
:<math>\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R</math> |
|||
ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីគណនាជ្រុងនៃ[[ត្រីកោណ]]ដែលនៅសល់ ប្រសិនបើគេស្គាល់តំលៃនៃ[[មុំ]]២ និងជ្រុងមួយ។ វាក៏អាចត្រូវបានគេប្រើបានដែល នៅគេស្គាល់ជ្រុងពីរ និងមុំមួយ។ |
|||
:<math>\begin{align} |
|||
2R = \frac{abc} {2S} & {} = \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \\ |
|||
& {} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4) }} |
|||
\end{align}</math> |
|||
ដែល <math>S \,</math> ជា[[ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ]] និង <math>p \,</math> ជា[[កន្លះបរិមាត្រ]]។ |
|||
:<math>p = \frac{a+b+c} {2}</math> |
|||
== សំរាយបញ្ជាក់ == |
|||
[[ឯកសារ:Law of sines proof.svg|រូបតូច|ស្តាំ|△ABC កំពស់ h គូសចេញពីកំពូល C]] |
|||
* <big>'''{{ខៀវ|សំរាយបញ្ជាក់}}'''</big> <math>\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math> |
|||
គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នា a, b, c និងមុំ A B C បង្ហាញដូចរូបខាងស្តាំ។ h ជា[[កំពស់ត្រីកោណ|កំពស់]]គូសចេញពីកំពូល C មកជ្រុង AB ។ តាមនិយមន័យវាចែក[[ត្រីកោណ]] ABC ជាពីរ[[ត្រីកោណកែង]]។ គេបាន |
|||
:<math>\sin A = \frac{h}{b} </math> និង <math> \sin B = \frac{h}{a}</math> |
|||
:<math>\Rightarrow h = b\,(\sin A) = a\,(\sin B)</math> |
|||
:<math>\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \,\,\, (1)</math> |
|||
ដូចគ្នាដែរចំពោះកំពស់គូសចេញពីកំពូល A មកជ្រុង BC នៃ[[ត្រីកោណ]] គេបាន |
|||
::<math> \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \,\,\, (2)</math> |
|||
<math>(1) \,</math> និង <math>(2) \,</math> យើងបាន |
|||
:<math>\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math> |
|||
---- |
|||
* <big>'''{{ខៀវ|សំរាយបញ្ជាក់}}'''</big> <math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} =\color{magenta}2R</math> |
|||
គេមាន[[ត្រីកោណ]] ABC ចារឹកក្នុង[[រង្វង់]]កាំ R និង <math>BC=a ,\quad \ang A=A</math> |
|||
:: '''(ក) - ករណី''' <math>0 < \ang A < \frac{\pi}{2}</math> (មុំ A ជាមុំស្រួច) |
|||
[[ឯកសារ:ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (មុំ A=D).png|ស្តាំ|រូបតូច|250px|{{កណ្តាល|ករណីមុំ A ជាមុំស្រួច}}]] |
|||
BD ជា[[អង្កត់ផ្ចិត]]នៃ[[រង្វង់ចារឹកក្រៅ]]ត្រីកោណ នោះចំនុច D គឺស្ថិតនៅលើ[[រង្វង់]] ។ |
|||
នាំអោយ <math>BD = 2R \,</math> (R ជាកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ) |
|||
ដោយយោងតាមទ្រឹស្តីបទ[[មុំចារឹកក្នុង]]រង្វង់ គេបាន |
|||
: <math>\ang A = \ang D \,</math> (មុំ A ស្មើមុំ D) |
|||
BD ជា[[អង្កត់ផ្ចិត]]នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ នោះគេបាន |
|||
: <math>{\rm BD} = 2R ,\ </math> និង <math> \ang {\rm BCD} = {\pi \over 2}\ </math> |
|||
តាង <math> \ang {\rm BDC} = \ang D = D </math> គេបាន |
|||
:: <math> \sin D = \frac{BC}{BD} = {a \over 2R} \qquad \Rightarrow \frac{a}{\sin D} = 2R</math> |
|||
ដោយមុំ D = A គេបាន <math> {a \over \sin A} = 2R </math> |
|||
តាមរយៈវិធីដូចគ្នាចំពោះផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន |
|||
:: <math> {b \over \sin B} = 2R </math> |
|||
:: <math> {c \over \sin C} = 2R </math> |
|||
ហេតុនេះ <math>\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R </math> |
|||
<div style="border-top: solid 1.5px orange;"> |
|||
:: '''(ខ) - ករណី''' <math> \ang A = \frac{\pi}{2}</math> (មុំ A ជា[[មុំកែង]]) |
|||
[[ឯកសារ:ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (មុំ A= ៩០ដឺក្រេ).png|ស្តាំ|រូបតូច|250px|<center>ករណីមុំ A = ៩០<sup>០</sup></center>]] |
|||
មុំ A ជា[[មុំកែង]] គេបាន BC ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ |
|||
::<math>BC = 2R = a \,</math> |
|||
::<math>\Rightarrow \sin A = \sin \frac{\pi}{2} = 1 </math> |
|||
::<math>\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = \frac{2R}{1} = 2R \qquad \color{blue} (i)</math> |
|||
ABC ជា[[ត្រីកោណកែង]] គេបាន |
|||
: <math>\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} = \frac{b}{2R} \qquad \frac{b}{\sin B} = 2R \qquad \color{blue} (ii)</math> |
|||
: <math>\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a} = \frac{c}{2R} \qquad \frac{c}{\sin C} = 2R \qquad \color{blue} (iii)</math> |
|||
តាម<math>\color{blue} (i) \quad (ii) </math> និង <math>\color{blue} \quad (iii)</math> យើងបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស |
|||
:<math>\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R </math> |
|||
</div> |
|||
<div style="border-top: solid 1.5px orange;"> |
|||
:: '''(គ) - ករណី''' <math>\frac{\pi}{2} < \ang A <\pi </math>{{Spaces|4}} (មុំ A ជាមុំទាល) |
|||
[[ឯកសារ:ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (មុំ A ជាមុំទាល).png|ស្តាំ|រូបតូច|250px|{{កណ្តាល|ករណីមុំ A ជាមុំទាល}}]] |
|||
ករណី BD ជា[[អង្កត់ផ្ចិត]]នៃ[[រង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ]] គេបានចំនុច D ស្ថិតនៅលើ[[រង្វង់]]។ យោងតាមលក្ខណៈ[[ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់|រង្វង់ចារឹកក្រៅចតុកោណ]] (=[[ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់]])គេបាន |
|||
:<math>A + D = \pi \qquad D = \pi - A \,</math> (ដែល <math>A =\ang A,\quad D =\ang D \,</math> ) |
|||
:<math>\Rightarrow \sin D = \sin (\pi - A) = \sin A</math> |
|||
BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ |
|||
: <math>\Rightarrow BD = 2R \,</math> |
|||
BCD ជា[[ត្រីកោណកែង]]ត្រង់ C គេបាន |
|||
:<math>\sin A = \sin D = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R} \qquad \Rightarrow \frac{a}{\sin A} = 2R</math> |
|||
ធ្វើដូចគ្នាដែរចំពោះមុំផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន |
|||
:<math>\frac{b}{\sin B} = 2R</math> |
|||
:<math>\frac{c}{\sin C} = 2R</math> |
|||
ហេតុនេះ <math>\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R </math> |
|||
</div> |
|||
<div style="border-top: solid 1.5px orange;"> |
|||
សនិដ្ឋាន: ដូចនេះគេបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស <math>\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R </math> ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណីទាំងបីខាងលើ។ |
|||
</div> |
|||
== បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសដោយប្រើ[[ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស]] == |
|||
[[ឯកសារ:ត្រីកោណ និង កំពស់.svg|320px|thumb|right|<center><math>\begin{align}a&=BH+HC\\ &=AB\cdot \cos B + AC\cdot \cos C\\ &= {\color{blue}c\cos B + b\cos C} \\ \Rightarrow b&=a\cos C +c \cos A \\ \Rightarrow c&=a\cos B +b \cos A \end{align}</math></center>]] |
|||
[[ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស]] |
|||
:<math>\begin{align}a^{2}&=b^{2}+c^{2}+2bc\cos{(B+C)} \\ &=b^{2}+c^{2}+2bc\cos{B}\cos{C}-2bc\sin{B}\sin{C} \\ &=(b\cos{C}+c\cos{B})^{2}+(b\sin{C}-c\sin{B})^{2} \\ &=a^{2}+(b\sin{C}-c\sin{B})^{2} \\ & \Rightarrow b\sin{C}-c\sin{B} = 0 \\ & \Longleftrightarrow \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}} \qquad \color{MidnightBlue} (i) \end{align}</math> |
|||
ដូចគ្នាដែរចំពោះ |
|||
:<math>b^{2}=a^{2}+c^{2}+2ac\cos{(A+C)} \Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=\frac{c}{\sin{C}} \qquad \color{MidnightBlue} (ii) </math> |
|||
:<math>c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos{(A+B)} \Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}} \qquad \color{MidnightBlue} (iii) </math> |
|||
ដូចនេះ តាម <math>\color{MidnightBlue} (i), \quad (ii) </math> និង <math>\color{MidnightBlue} (iii) </math> គេបាន |
|||
:<math>\color{magenta}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math> |
|||
== អនុវត្ត == |
|||
គេមាន[[ត្រីកោណ]] ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b, c ចារឹកក្នុងរង្វង់[[កាំ]] R ។ ស្រាយបំភ្លឺថាៈ |
|||
:<math> a \cos A + b \cos B + c \cos C = \frac{2S} {R}</math> |
|||
ដែល <math> S \,</math> ជា[[ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ]] ABC ។ |
|||
'''ដំណោះស្រាយ''' |
|||
តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសនៃត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុង[[រង្វង់]]កាំ R |
|||
:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \Rightarrow |
|||
\begin{cases} |
|||
a = 2Rsin A\\ |
|||
b = 2Rsin B \\ |
|||
c= 2Rsin C \\ |
|||
\end{cases} |
|||
</math> |
|||
យើងបាន: |
|||
<math>\begin{align} |
|||
acos A + bcos B + ccos C &= 2Rsin Acos A + 2Rsin Bcos B + 2Rsin Ccos C \\ |
|||
&=R( 2sin Acos A + 2sin Bcos B + 2sin Ccos C )\\ |
|||
&=R( 2sin Acos A + sin 2B + sin 2C )\\ |
|||
&=R[ 2sin Acos A + 2sin (B+C) cos(B-C) ]\\ |
|||
&=R[ 2sin Acos A + 2sin A cos(B-C) ] \\ |
|||
& (B+C = \pi - A \Rightarrow sin (B+C) = sin (\pi - A) = sin A)\\ |
|||
&=2R sin A[cos (B-C) - cos(B+C) ] \\ |
|||
& (A = \pi - (B+C) \Rightarrow cos A = cos [\pi - (B+C)] = -cos (B+C)\\ |
|||
&=2Rsin A \cdot 2sin B sin C \\ |
|||
&=4Rsin A \cdot sin B sin C \\ |
|||
&=4R \cdot \frac{a} {2R} \cdot \frac{b} {2R} \cdot \frac{c} {2R} \\ |
|||
&= \frac{abc} {2R^2} \,\,\,\, (1) \\ |
|||
\end{align}</math> |
|||
<math>\ S</math> ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណចារឹកក្នុងរង្វង់[[កាំ]] R <math>\Rightarrow S = \frac{abc} {4R} \Rightarrow abc = 4RS</math> |
|||
ជំនួស abc ក្នុង <math>(1) \,</math> យើងបាន |
|||
<math>acos A + bcos B + ccos C = \frac{4RS} {2R^2} = \frac{2S} {R}</math> |
|||
ដូចនេះ |
|||
:<math>acos A + bcos B + ccos C = \frac{2S} {R}</math> |
|||
== ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណមាត្រស្វ៊ែរ == |
|||
[[ឯកសារ:Spherical triangle with notations.png|200ភស|រូបតូច|ស្តាំ|ត្រីកោណស្វ៊ែរ ABC ]] |
|||
គេមានត្រីកោណស្វ៊ែរ ABC ស្ថិតនៅលើ[[ស្វ៊ែរ]]ដែលមាន[[ផ្ចិត]] O [[កាំ]] <math>\rho \,</math> ដូចក្នុងរូបខាងស្តាំ នោះទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសអាចសរសេរ |
|||
: <math>{{\sin a} \over {\sin A}} = {{\sin b} \over {\sin B}} = {{\sin c} \over {\sin C}} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c} </math> |
|||
ដែល |
|||
* <math>\alpha = \ang A \,</math> |
|||
* <math>\beta = \ang B \,</math> |
|||
* <math>\gamma = \ang C \,</math> |
|||
* <math>V_{\mathrm{OABC}} \,</math> ជា[[មាឌ]]នៃ[[តេត្រាអែត]] OABC ។ |
|||
== សូមមើលផងដែរ == |
|||
* [[ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស]] |
|||
* [[អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]] |
|||
* [[ទ្រឹស្តីបទតង់សង់]] |
|||
{{អត្ថបទពិសេស}} |
|||
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ទ្រឹស្តីបទគណិតវិទ្យា|ស៊ីនុស]] |
|||
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណមាត្រ]] |
|||
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:មុំ]] |
|||
[[als:Sinussatz]] |
|||
[[ar:قانون الجيب]] |
|||
[[bg:Синусова теорема]] |
|||
[[bs:Sinusni teorem]] |
|||
[[ca:Teorema del sinus]] |
|||
[[cs:Sinová věta]] |
|||
[[da:Sinusrelation]] |
|||
[[de:Sinussatz]] |
|||
[[en:Law of sines]] |
|||
[[eo:Leĝo de sinusoj]] |
|||
[[es:Teorema del seno]] |
|||
[[fa:قانون سینوسها]] |
|||
[[fi:Sinilause]] |
|||
[[fr:Loi des sinus]] |
|||
[[he:משפט הסינוסים]] |
|||
[[hu:Szinusztétel]] |
|||
[[id:Hukum sinus]] |
|||
[[is:Sínusreglan]] |
|||
[[it:Teorema dei seni]] |
|||
[[ja:正弦定理]] |
|||
[[ka:სინუსების თეორემა]] |
|||
[[ko:사인 법칙]] |
|||
[[ms:Hukum sinus]] |
|||
[[nl:Sinusregel]] |
|||
[[no:Sinussetningen]] |
|||
[[pl:Twierdzenie sinusów]] |
|||
[[pms:Teorema dij sen]] |
|||
[[pt:Lei dos senos]] |
|||
[[ro:Teorema sinusurilor]] |
|||
[[ru:Теорема синусов]] |
|||
[[sk:Sínusová veta]] |
|||
[[sl:Sinusni izrek]] |
|||
[[sq:Teorema e sinusit]] |
|||
[[sr:Синусна теорема]] |
|||
[[sv:Sinussatsen]] |
|||
[[tr:Sinüs teoremi]] |
|||
[[uk:Теорема синусів]] |
|||
[[ur:قانون جیب]] |
|||
[[zh:正弦定理]] |
កំណែថ្មីបំផុតនៅ ម៉ោង១៨:២៤ ថ្ងៃសៅរ៍ ទី២០ ខែកុម្ភៈ ឆ្នាំ២០១០
បញ្ជូនបន្តទៅ៖