អនុគមន៍ ត្រីកោណមាត្រ៖ ភាពខុសគ្នារវាងកំណែនានា
ខ្លឹមសារដែលបានលុបចោល ខ្លឹមសារដែលបានសរសេរបន្ថែម
ត រ៉ូបូ បន្ថែម: et:Trigonomeetrilised funktsioonid |
ត បញ្ជូនបន្តទៅ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ |
||
| បន្ទាត់ទី១៖ | បន្ទាត់ទី១៖ | ||
#ប្តូរទីតាំង [[អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]] |
|||
{{TOCRight}} |
|||
ក្នុង[[គណិតវិទ្យា]] '''អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ'''ជា[[អនុគមន៍]]នៃ[[មុំ]]។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមានសារសំខាន់ក្នុងការសិក្សាអំពី[[ត្រីកោណ]] [[រង្វង់]] និងម៉ូដែលនៃបាតុភូតដែលមានលក្ខណៈជាខួប។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាធម្មតាកំនត់ដោយ[[ផលធៀប]]រវាងជ្រុងពីរនៃ[[ត្រីកោណកែង]]ជាមួយនឹងមុំនៃត្រីកោណនោះ និង អាចកំនត់ដោយសមមូលនឹងប្រវែងនៃអង្កត់ខុសគ្នានៅលើ[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]។ វាក៏អាចត្រូវបានគេសំដែងវាជា[[ស៊េរីអនន្ត]] ឬ ជាចំលើយនៃ[[សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល]]។ |
|||
ក្នុងការប្រើប្រាស់ មានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគ្រឹះចំនួន៦គឺ |
|||
* ស៊ីនុស (sin) |
|||
* កូស៊ីនុស (cos) |
|||
* តង់សង់ (tan ឬ tg) |
|||
* កូតង់សង់ (cot ឬ cotan) |
|||
* សេកង់ (sec) |
|||
*កូសេកង់ (csc ឬ cosec) |
|||
[[ស៊ីនុស]] [[កូស៊ីនុស]] និង [[តង់សង់]] គឺត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ច្រើនជាងគេ។ អនុគមន៍សេកង់ និង កូសេកង់គឺកំរនឹងត្រូវបានគេប្រើណាស់។ |
|||
ចំពោះសេចក្តីលំអិតអំពីរូបមន្ត[[ត្រីកោណមាត្រ]] សូមមើល[[តារាងរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ]]។ |
|||
== និយមន័យក្នុងត្រីកោណកែង == |
|||
ផលធៀបត្រីកោណមាត្រ ជាផលធៀបរវាង ជ្រុងឈមនៃមុំនោះនឹង អ៊ីប៉ូតេនុស។ |
|||
<div align="center"> |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|- |
|||
! អនុគមន៍ |
|||
! អក្សរបំព្រួញ |
|||
! រូបមន្ត |
|||
! រូបត្រីកោណកែង |
|||
|- |
|||
| [[ស៊ីនុស]] |
|||
| sin |
|||
| <math>\sin\theta = {BC \over CA}</math> |
|||
|rowspan="6"| |
|||
[[Image:Triangle ratio.png|right|350px]] |
|||
|- |
|||
| [[កូស៊ីនុស]] |
|||
| cos |
|||
| <math>\cos\theta = {AB \over CA}</math> |
|||
|- |
|||
| [[តង់សង់]] |
|||
| tan ឬ tg |
|||
|<math>\tan\theta = {BC \over AB} = {\sin\theta \over \cos\theta}</math> |
|||
|- |
|||
| [[សេកង់]] |
|||
| sec |
|||
|<math>\sec\theta = {CA \over AB} = {1 \over \cos\theta}</math> |
|||
|- |
|||
| [[កូសេកង់]] |
|||
| csc ឬ cosec |
|||
|<math>\csc\theta = {CA \over BC} = {1 \over \sin\theta}</math> |
|||
|- |
|||
| [[កូតង់សង់]] |
|||
| cot ឬ cotan |
|||
|<math>\cot\theta = {AB \over BC} = {\csc\theta \over \sec\theta} = {1 \over \tan\theta}</math> |
|||
|} |
|||
</div> |
|||
ការយល់ដឹងថាមានមាត្រដ្ឋានមួយចំនួនទាក់ទងរវាងជ្រុងនៃ[[ត្រីកោណ]]និង[[មុំ]]នៃត្រីកោណគឺត្រូវបានគេស្គាល់ថាត្រីកោណដូចគ្នានៅរក្សាតំលៃផលធៀបរវាងជ្រុងរបស់ពួកវាដដែល។ មានន័យថា ចំពោះ[[ត្រីកោណដូចគ្នា]] ផលធៀបនៃ[[អ៊ីប៉ូតេនុស]]និងជ្រុងផ្សេងទៀតនៅរក្សាតំលៃដដែល។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺសំដែងជាផលធៀបទាំងនេះ។ |
|||
ដើម្បីកំនត់និយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះមុំ A (ក្នុងរូបមុំត្រង់កំពូល A គឺមុំ <math>\ \theta</math>) ក្នុង[[ត្រីកោណកែង]]ដែលមាន[[មុំ]] A ជាមុំកែង។ យើងប្រើប្រាស់ឈ្មោះខាងក្រោមចំពោះជ្រុងទាំងបីនៃ[[ត្រីកោណ]]៖ |
|||
* [[អ៊ីប៉ូតេនុស]]គឺជាជ្រុងឈមនឹងមុំកែង ឬ ត្រូវបានគេអោយនិយមន័យថាគឺជាជ្រុងដែលវែងជាងគេនៃ[[ត្រីកោណកែង]]។ |
|||
* ជ្រុងឈមគឺជាជ្រុងដែលឈមនឹងមុំដែលយើងកំនត់ (ក្នុងរូបមុំដែលកំនត់គឺមុំ A ដូចនេះជ្រុងឈមនឹងមុំ A គឺជ្រុង BC) ។ |
|||
* ជ្រុងជាប់គឺជាជ្រុងដែលជាប់នឹងមុំដែលយើងកំនត់ និង ជាជ្រុងជាប់នឹងមុំកែង (ក្នុងរូបជ្រុងជាប់នៃមុំ A គឺជ្រុង AB) ។ |
|||
គ្រប់[[ត្រីកោណ]]គឺត្រូវបានកំនត់ក្នុង[[ប្លង់អឺគ្លីត]] ហេតុដូចនេះផលបូកមុំផ្នែកខាងក្នុងនៃត្រីកោណនិមួយៗគឺស្មើនឹង ១៨០ ដឺក្រេ (<math>\ \pi</math> [[រ៉ាដ្យង់]] ) ។ ដូចនេះចំពោះត្រីកោណកែងមុំមិនកែងពីរគឺស្ថិតនៅចន្លោះពី ០ ទៅ ៩០ដឺក្រេ (<math>\ \frac{\pi}{2}</math> [[រ៉ាដ្យង់]]) ។ និយមន័យខាងក្រោមគឺកំនត់មុំពី ០ ទៅ ៩០ដឺក្រេ។ យើងអាចបន្លាយវាចំពោះគ្រប់សំនុំនៃអាគុយម៉ង់ពិតដោយប្រើ[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]] ឬ ដោយប្រើលក្ខណៈស៊ីមេទ្រី ព្រោះវាជា[[អនុគមន៍ខួប]]។ |
|||
[[រូបភាព:ត្រីកោណកែងត្រង់ B.png|ស៊ុម|ស្តាំ|ត្រីកោណកែងត្រង់ B]] |
|||
យើងតាង |
|||
* អ៊ីប៉ូតេនុស (AC) ដោយ <math>\ h</math> |
|||
* ជ្រុងឈម (BC) ដោយ <math>\ a</math> |
|||
* ជ្រុងជាប់ (AB) ដោយ <math>\ c</math> |
|||
ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ |
|||
* '''ស៊ីនុស''' |
|||
ស៊ីនុសនៃមុំមួយគឺជាផលធៀបរវាងរង្វាស់ប្រវែងនៃជ្រុងឈម និង រង្វាស់អ៊ីប៉ូតេនុស។ គេបាន |
|||
: <math>\ \sin A = \frac{BC}{AC}= \frac{a}{h}</math> |
|||
ចូរកត់សំគាល់ថាផលធៀបនេះមិនអាស្រ័យនឹងទំហំនៃត្រីកោណកែងដែលជ្រើសរើសទេ ដរាបណាវាមានមុំ A ដោយសារគ្រប់ត្រីកោណបែបនេះគឺជាត្រីកោណដូចគ្នា។ |
|||
* '''កូស៊ីនុស''' |
|||
កូស៊ីនុសនៃមុំមួយគឺជាផលធៀបរវាងរង្វាស់ជ្រុងជាប់និងរង្វាស់អ៊ីប៉ូតេនុស ។ គេបាន |
|||
: <math>\ \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{h}</math> |
|||
* '''តង់សង់''' |
|||
តង់សង់នៃមុំគឺជាផលធៀបរវាងជ្រុងឈមនិងជ្រុងជាប់។ គេបាន |
|||
: <math>\ \tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c}</math> |
|||
* '''កូតង់សង់''' |
|||
កូតង់សង់នៃមុំ A (cot A) គឺជាចំរាស់នៃតង់សង់នៃមុំ A ( tan A) ។ មានន័យថាវាជាផលធៀបរវាងជ្រុងជាប់និងជ្រុងឈម។ |
|||
: <math>\ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}</math> |
|||
* '''សេកង់''' |
|||
សេកង់នៃមុំ A (sec A) គឺជាចំរាស់នៃកូស៊ីនុសនៃមុំ A (cos A) ។ មានន័យថាវាជាផលធៀបរវាងអ៊ីប៉ូតេនុសនិងជ្រុងជាប់។ |
|||
: <math>\ \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{AC}{AB} = \frac{h}{c}</math> |
|||
* '''កូសេកង់''' |
|||
កូសេកង់នៃមុំ A (cosec A ឬ csc A) គឺជាចំរាស់នៃស៊ីនុសនៃមុំ A ។ មានន័យថាវាជាផលធៀបរវាងអ៊ីប៉ូតេនុសនិងជ្រុងឈម។ |
|||
: <math>\ \csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{AC}{BC} = \frac{h}{a}</math> |
|||
== និយមន័យដោយទាញចេញពី[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]] == |
|||
[[រូបភាព:Unit circle angles.svg|ស្តាំ|thumb|350px|{{កណ្តាល|[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]}}]] |
|||
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគ្រឹះទាំង៦អាចត្រូវបានកំនត់ពី[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]] ដែលជា[[រង្វង់]]មាន[[កាំ]]មានរង្វាស់ស្មើនឹង១ និង មាន[[ផ្ចិត]]ស្ថិតនៅត្រង់គល់ O ។ និយមន័យនៃរង្វង់ត្រីកោណមាត្រផ្តល់នូវវិធីសាស្រ្តមួយចំនួនក្នុងការគណនា។ រង្វង់ត្រីកោណមាត្រអាចកំនត់នូវអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះគ្រប់មុំ (អាគុយម៉ង់ )វិជ្ជមានឬអវិជ្ជមាន មិនតែចំពោះមុំនៅចន្លោះពី ០ ទៅ ៩០ ដឺក្រេ (០ និង<math>\ \frac{\pi}{2}</math> ) ប៉ុណ្ណោះទេ។ |
|||
ក្នុង[[ប្លង់ដេកាត]]នៃ[[តំរុយអរតូណរមេ]] <math>(O;\vec{i},\vec{j})</math> '''រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ''' គឺជា[[រង្វង់]]ផ្ចិត O និង[[កាំ]] ស្មើនឹង ១។ ប្រសិនបើយើងចាត់ទុកចំនុច A(x<sub>A</sub>, y<sub>A</sub>) ជាចំនុចនៅលើ[[រង្វង់]] គេបាន |
|||
: <math>\cos \widehat{(\vec{i},\vec{OA})} = x_A</math> |
|||
: <math>\sin \widehat{(\vec{i},\vec{OA})} = y_A</math> |
|||
ពី[[ទ្រឹស្តីបទពីតាករ]]សមីការរង្វង់ត្រីកោណមាត្រគឺ |
|||
: <math>\ x^2 + y^2 = 1</math> |
|||
ពីទ្រឹស្តីបទពីតាករ វាផ្តល់នូវទំនាក់ទំនង |
|||
: <math>\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\,</math> |
|||
ក្នុងរូបមុំមួយចំនួនត្រូវបានអោយគិតជា[[រ៉ាដ្យង់]]។ រង្វាស់[[មុំ]]ក្នុងទិសដៅស្របនឹងទ្រនិចនាឡិកាគឺជាមុំវិជ្ជមាន និង រង្វាស់មុំក្នុងទិសដៅផ្ទុយពីទ្រនិចនាឡិកាគឺជាមុំអវិជ្ជមាន។ តាង[[បន្ទាត់]]មួយកាត់តាមគល់តំរុយ បង្កើតបានមុំ <math>\ \theta</math> ជាមួយកន្លះអ័ក្សអាប់ស៊ីសផ្នែកវិជ្ជមាន ប្រសព្វជាមួយនឹង[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]។ កូអរដោនេ x និង y នៃចំនុចប្រព្វនេះគឺស្មើនឹង <math>\ \cos \theta</math> និង <math>\ \sin \theta</math> រៀងគ្នា។ [[ត្រីកោណ]]ក្នុងក្រាភិកបង្កើតបានរូបមន្ត៖ [[កាំ]]គឺស្មើនឹង[[អ៊ីប៉ូតេនុស]] និង មានរង្វាស់ស្មើនឹង ១ ហេតុនេះយើងបាន <math>\ \sin \theta = \frac{y}{1}</math> និង <math>\ \cos \theta = \frac{x}{1}</math> ។ រង្វង់ត្រីកោណមាត្រអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាវិធីសាស្រ្តមួយចំពោះត្រីកោណដែលមានចំនួនអនន្តដោយប្តូរប្រវែងនៃជើងរបស់វា ប៉ុន្តែរក្សាប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុសរបស់ពួកវាអោយស្មើនឹង ១ ។ |
|||
ចំពោះមុំដែលធំជាង <math>\ 2\pi</math> និងតូចជាង <math>\ -2\pi</math> បន្តវិលជុំវិញរង្វង់។ ក្នុងករណីនេះ ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុស ក្លាយជាអនុគមន៍ខួប ដែលមានខួប <math>\ 2\pi</math> ។ |
|||
:<math>\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)\,</math> |
|||
:<math>\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right)\,</math> |
|||
ចំពោះគ្រប់មុំ <math>\ \theta</math> និង ចំនួនគត់ k ។ |
|||
ខួបវិជ្ជមានតូចបំផុតនៃ[[អនុគមន៍ខួប]]គឺត្រូវបានគេហៅថា'''ខួបព្រីមីទីវ''' ឬ '''ខួប'''នៃ[[អនុគមន៍]]។ ខួបព្រីមីទីវនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស សេកង់ ឬ កូសេកង់ គឺជារង្វង់ពេញ (មួយជុំរង្វង់) មានន័យថាខួបរបស់វាមានតំលៃ <math>\ 2\pi </math> រ៉ាដ្យង់ ឬ ៣៦០ដឺក្រេ។ ខួបនៃតង់សង់ ឬ កូតង់សង់គឺកន្លះរង្វង់ (ពាក់កណ្តាលរង្វង់ ឬ កន្លះជុំ) មានន័យថាខួបរបស់វាមានតំលៃ <math>\ \pi</math> រ៉ាដ្យង់ ឬ ១៨០ដឺក្រេ។ ខាងលើស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានកំនត់ដោយផ្ទាល់ដោយរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ ប៉ុន្តែអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគ្រឹះបួនផ្សេងទៀតអាចកំនត់ដោយ៖ |
|||
:<math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\,, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}\,,</math> |
|||
:<math>\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}\,, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\,</math> |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|- |
|||
|[[រូបភាព:Unitcircledefs.svg|350x230px|កណ្តាល]] <br />អនុគមន៍ស៊ីនុស តង់សង់ និង សេកង់នៃមុំមួយសង់តាមបែបធរណីមាត្រនៅលើ[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]។ <math>\ \theta</math> គឺជារង្វាស់ប្រវែងខ្សែកោង (ប្រវែងធ្នូ) ហេតុនេះមុំនេះត្រូវបានគេវាស់គិតជា[[រ៉ាដ្យង់]]។ អនុគមន៍សេកង់និងតង់សង់ស្ថិតនៅលើ[[បន្ទាត់]]ឈរហើយនឹង និង អនុគមន៍ស៊ីនុសស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មានចលនា ។ (ពាក្យ'''នឹង'''នៅទីនេះមានន័យថាមិនមានចលនាទៅតាមតំលៃនៃ <math>\ \theta</math> ទេ រីឯពាក្យ'''មានចលនា'''មានន័យថាអាស្រ័យនឹង <math>\ \theta</math>) ។ ដូចនេះនៅពេល <math>\ \theta</math> ប្រែប្រួលពី ០ ទៅ មុំកែង នោះ <math>\ \sin \theta</math> ប្រែប្រួលពី ០ ទៅ ១ ចំនែកឯ <math>\ \tan \theta</math> វិញប្រែប្រួលពី ០ ទៅអនន្ត (<math>\ \infty</math>) និង <math>\ \sec \theta</math> ប្រែប្រួលពី ១ ទៅអនន្ត។ |
|||
|[[រូបភាព:Unitcirclecodefs.svg|330x230px|កណ្តាល]] <br />អនុគមន៍កូស៊ីនុស កូតង់សង់ និង កូសេកង់ នៃមុំ θ សង់តាមលក្ខណៈ[[ធរណីមាត្រ]]នៅលើ[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]។ អនុគមន៍ដែលឈ្មោះវាផ្តើមដោយបុព្វបទ '''កូ''' ប្រើបន្ទាត់ដេក និង ក្រៅពីនេះប្រើបន្ទាត់ឈរ។ |
|||
|- |
|||
|[[រូបភាព:Sine cosine plot.svg|330x230px|កណ្តាល]]<br />{{កណ្តាល|ក្រាបនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសក្នុងប្លង់ដេកាត}} |
|||
|[[រូបភាព:Circle-trig6.svg|330x230px|កណ្តាល]]<br />គ្រប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់នៃមុំ θ អាចសង់តាមលក្ខណៈធរណីមាត្រនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រដែលមានផ្ចិត O |
|||
|- |
|||
|[[រូបភាព:sinus.svg|380px|កណ្តាល]] <br />{{កណ្តាល|ក្រាបនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស}} |
|||
|[[រូបភាព:cosinus.svg|380px|កណ្តាល]] <br />{{កណ្តាល|ក្រាបនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុស}} |
|||
|- |
|||
|[[រូបភាព:Tangente.svg|380px|កណ្តាល]]{{កណ្តាល|ក្រាបនៃអនុគមន៍តង់សង់}} |
|||
|[[រូបភាព:Trigonometric functions.svg|កណ្តាល|380px]] <br />អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ: <span style="color:#00A">ស៊ីនុស</span>, <span style="color:#0A0">កូស៊ីនុស</span>, <span style="color:#A00">តង់សង់</span>, <span style="color:#AA0">កូតង់សង់</span>, <span style="color:#A0A">សេកង់</span>, <span style="color:#0AA">កូតង់សង់</span> |
|||
|} |
|||
* ស៊ីនុសគឺជា[[អនុគមន៍សេស]]: <math>\forall x\in\R</math> គេបាន <math>\sin(- x) = -\sin(x)\,\! </math> |
|||
* កូស៊ីនុសគឺជា[[អនុគមន៍គូ]]: <math>\forall x\in\R</math> គេបាន <math>\cos(- x) = \cos(x)\,\! </math> |
|||
* តង់សង់គឺជា[[អនុគមន៍សេស]]: <math>\forall x\in\R\setminus \left\{\frac \pi 2 + k\pi,\, k \in \Z \right\}</math> គេបាន <math>\tan(- x) = -\tan(x)\,\! </math> |
|||
== និយមន័យទាញចេញពី[[ស៊េរី]] == |
|||
[[រូបភាព:Taylorsine.svg|300px|thumb|right|អនុគមន៍ស៊ីនុស (ខៀវ) ខិតជិត[[ពហុធាតេល័រ]]ដឺក្រ៧ (ពណ៌ផ្កាឈូក) ចំពោះរង្វង់ពេញ (មួយជុំរង្វង់) ដែលមានផ្ចិតត្រង់គល់ O]] |
|||
ដោយប្រើតែ[[ធរណីមាត្រ]]និងលក្ខណៈនៃ[[លីមីត]] វាអាចត្រូវបានគេបង្ហាញថា[[ដេរីវេ]]នៃស៊ីនុសគឺជាកូស៊ីនុស និង ដេរីវេនៃកូស៊ីនុសគឺស៊ីនុសអវិជ្ជមាន។ ក្នុងគណិតវិទ្យាវិភាគទូទៅ គ្រប់រង្វាស់មុំត្រូវបានគេគិតជា[[រ៉ាដ្យង់]]។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីនៃ[[ស៊េរីតេល័រ]] ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x គេបាន |
|||
* ស៊ីនុស |
|||
: <math> |
|||
\begin{align} |
|||
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\ |
|||
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ |
|||
\end{align} |
|||
</math> |
|||
* កូស៊ីនុស |
|||
: <math> |
|||
\begin{align} |
|||
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\ |
|||
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} |
|||
\end{align} |
|||
</math> |
|||
រូបមន្តទាំងនេះជួនកាលត្រូវបានជ្រើសរើសដើម្បីកំនត់និយមន័យនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុស។ ពួកវាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ជាញឹកញាប់ជាចំនុចចាប់ផ្តើមក្នុងប្រព្រឹត្តិកម្មឥតល្អៀងនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង ការអនុវត្តន៍របស់ពួកវា (ឧទាហរណ៍៖ ក្នុង[[ស៊េរីហ្វួរា]] (Fourier series)) ពីព្រោះទ្រឹស្តីនៃ[[ស៊េរីអនន្ត]]អាចត្រូវបានគេអភិវឌ្ឍចេញពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃ[[ប្រព័ន្ធចំនួនពិត]] (real number system) ដោយមិនទាក់ទងនឹងគំនិតបែបធរណីមាត្រណាមួយទេ។ ភាពមានដេរីវេ និង ភាពជាប់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះត្រូវបានគេបង្កើតចេញពីនិយមន័យនៃស៊េរីតែឯង។ |
|||
* តង់សង់ |
|||
: <math> |
|||
\begin{align} |
|||
\tan x & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ |
|||
& {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots |
|||
\end{align} |
|||
</math> |
|||
::ចំពោះ <math> |x| < \frac{\pi}{2}\,</math> |
|||
* កូសេកង់ |
|||
: <math> |
|||
\begin{align} |
|||
\csc x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ |
|||
& {} = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots |
|||
\end{align} |
|||
</math> |
|||
:: ចំពោះ <math> 0 < |x| < \pi\,</math> |
|||
* សេកង់ |
|||
: <math> |
|||
\begin{align} |
|||
\sec x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!} |
|||
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} \\ |
|||
& {} = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots |
|||
\end{align} |
|||
</math> |
|||
:: ចំពោះ <math> |x| < \frac{\pi}{2}\,</math> |
|||
* កូតង់សង់ |
|||
: <math> |
|||
\begin{align} |
|||
\cot x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ |
|||
& {} = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots |
|||
\end{align} |
|||
</math> |
|||
::ចំពោះ <math>0 < |x| < \pi\,</math> |
|||
ដែល |
|||
* B<sub>n</sub> គឺជា[[ចំនួនប៊ែរនូយី]]ទី n |
|||
* E<sub>n</sub> គឺជា[[ចំនួនអយល័រ]]ទី n និង |
|||
* U<sub>n</sub> គឺជាចំនួនឡើងចុះទី n (up/down number) |
|||
===ទំនាក់ទំនងជាមួយនឹងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនិងចំនួនកុំផ្លិច === |
|||
គេអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយចេញពីនិយមន័យស៊េរីដែលអនុគមន៍ស៊ីនុសនិងកូស៊ីនុសគឺជា[[ផ្នែកនិម្មិត]]និង[[ផ្នែកពិត]]រៀងគ្នានៃ[[អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិច]]នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់របស់វាជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ។ |
|||
:<math> e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta \,</math> |
|||
រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថា[[រូបមន្តអយល័រ]] ។ ក្នុងករណីនេះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រក្លាយជាផ្នែកមួយដ៏មានសារសំខាន់ក្នុងតំណាងធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិចវិភាគ។ ឧទាហរណ៍៖ ជាមួយនឹងរូបមន្តនេះប្រសិនបើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានគេចាត់ទុកថានៅក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]] កំនត់ដោយ <math>\ e^{ix}</math> គេអាចកំនត់រង្វង់ត្រីកោណមាត្រនេះជាអនុគមន៍នៃកូស៊ីនុស (cos) និងស៊ីនុស (sin) ដែលជាទំនាក់ទំនងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិចនិងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ |
|||
លើសពីនេះទៅទៀត រូបមន្តអយល័រអាចអោយយើងកំនត់និយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះ អាគុយម៉ង់កុំផ្លិច <math>\ z</math> |
|||
: <math>\sin z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{i z} - e^{-i z} \over 2i} = -i \sinh \left( i z\right) \,</math> |
|||
: <math>\cos z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{i z} + e^{-i z} \over 2} = \cosh \left(i z\right)\,</math> |
|||
ដែល <math>\ i^2 = -1</math> និងចំពោះចំនួនពិតសុទ្ធ <math>\ x</math> |
|||
: <math>\cos x = \mbox{Re } (e^{i x})\,</math> |
|||
: <math>\sin x = \mbox{Im } (e^{i x})\,</math> |
|||
===ក្រាបនៃអនុគមន៍ត្រីកោណក្នុងប្លង់កុំផ្លិច=== |
|||
ក្នុងក្រាបខាងក្រោមគឺស្ថិតនៅក្នុងដែននៃប្លង់កុំផ្លិច និងតំលៃជាជួររបស់វាត្រូវបានបង្ហាញនៅត្រង់ចំនុចនិមួយៗដោយពណ៌។ ពណ៌ភ្លឺច្បាស់បង្ហាញពីទំហំ ([[តំលៃដាច់ខាត]]) នៃតំលៃជាជួរជាមួយពណ៌ខ្មៅជាតំលៃសូន្យ។ ពណ៌លាំៗបង្ហាញពីបំរែបំរួលនៃអាគុយម៉ង់ ឬ មុំ ដែលត្រូវបានគេវាស់ពីអ័ក្សពិតផ្នែកវិជ្ជមាន។ ([[:រូបភាព:Complex coloring.jpg|ព័ត៌មានបន្ថែម]]) ។ |
|||
{| style="text-align:center" align="center" |
|||
|+ '''ក្រាបនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]''' |
|||
|[[រូបភាព:Complex sin.jpg|1000x140px|none]] |
|||
|[[រូបភាព:Complex cos.jpg|1000x140px|none]] |
|||
|[[រូបភាព:Complex tan.jpg|1000x140px|none]] |
|||
|[[រូបភាព:Complex Cot.jpg|1000x140px|none]] |
|||
|[[រូបភាព:Complex Sec.jpg|1000x140px|none]] |
|||
|[[រូបភាព:Complex Csc.jpg|1000x140px|none]] |
|||
|- |
|||
|<math> |
|||
\sin z\, |
|||
</math> |
|||
|<math> |
|||
\cos z\, |
|||
</math> |
|||
|<math> |
|||
\tan z\, |
|||
</math> |
|||
|<math> |
|||
\cot z\, |
|||
</math> |
|||
|<math> |
|||
\sec z\, |
|||
</math> |
|||
|<math> |
|||
\csc z\, |
|||
</math> |
|||
|} |
|||
== រូបមន្ត == |
|||
=== តារាងរូបមន្តបំលែង === |
|||
សញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺអាស្រ័យនឹង[[កាដ្រង់]]ក្នុង[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]។ ខាងក្រោមនេះជាតារាងសញ្ញានៃអនុគមន៍ទាំងនេះក្នុងកាដ្រង់ I II III និង IV នៃរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ |
|||
{| class="prettytable" |
|||
|- |
|||
! កាដ្រង់ |
|||
! sin និង csc |
|||
! cos និង sec |
|||
! tan និង cot |
|||
|- align=center |
|||
!style="background: #FFEBAD"| I |
|||
| + |
|||
| + |
|||
| + |
|||
|- align=center |
|||
!style="background: #FFEBAD"| II |
|||
| + |
|||
| − |
|||
| − |
|||
|- align=center |
|||
!style="background: #FFEBAD"| III |
|||
| − |
|||
| − |
|||
| + |
|||
|- align=center |
|||
!style="background: #FFEBAD"| IV |
|||
| − |
|||
| + |
|||
| − |
|||
|} |
|||
ខាងក្រោមនេះជាតារាងរូបមន្តបំលែងនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនិមួយៗ។ |
|||
{| class="prettytable" |
|||
|-style="background: #FFEBAD" |
|||
! |
|||
! sin |
|||
! cos |
|||
! tan |
|||
! cot |
|||
! sec |
|||
! csc |
|||
|- align=center |
|||
!style="background: #FFEBAD"| sin(x) |
|||
| <math> \,\sin(x) </math> |
|||
| <math> \sqrt{1-\cos^2(x)} </math> |
|||
| <math> \frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}} </math> |
|||
| <math> \frac{1}{\sqrt{\cot^2(x) + 1}} </math> |
|||
| <math> \frac{\sqrt{\sec^2(x)-1}} {\sec(x)} </math> |
|||
| <math> \frac{1}{\csc(x)} </math> |
|||
|- align=center |
|||
!style="background: #FFEBAD"| cos(x) |
|||
| <math> \, \sqrt{1-\sin^2(x)} </math> |
|||
| <math> \, \cos(x) </math> |
|||
| <math> \, \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}} </math> |
|||
| <math> \, \frac{\cot(x)} {\sqrt{\cot^2(x)+ 1}} </math> |
|||
| <math> \, \frac{1}{\sec(x)} </math> |
|||
| <math> \, \frac{\sqrt{\csc^2(x)-1}}{\csc(x)} </math> |
|||
|- align=center |
|||
!style="background: #FFEBAD"| tan(x) |
|||
| <math> \, \frac{\sin(x)}{\sqrt{1-\sin^2(x)}} </math> |
|||
| <math> \, \frac{\sqrt{1-\cos^2(x)}}{\cos(x)} </math> |
|||
| <math> \, \tan(x) </math> |
|||
| <math> \, \frac{1}{\cot(x)} </math> |
|||
| <math> \, \sqrt{\sec^2(x)-1} </math> |
|||
| <math> \, \frac{1}{ \sqrt{\csc^2(x)-1}} </math> |
|||
|- align=center |
|||
!style="background: #FFEBAD"| cot(x) |
|||
| <math> \, \frac{\sqrt{1-\sin^2(x)}}{\sin(x)} </math> |
|||
| <math> \, \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-\cos^2(x)}} </math> |
|||
| <math> \, \frac{1}{\tan(x)} </math> |
|||
| <math> \, \cot(x) </math> |
|||
| <math> \, \frac{1}{\sqrt{\sec^2(x)-1}} </math> |
|||
| <math> \, \sqrt{\csc^2(x)-1} </math> |
|||
|- align=center |
|||
!style="background: #FFEBAD"| sec(x) |
|||
| <math> \, \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(x)}} </math> |
|||
| <math> \, \frac{1}{\cos(x)} </math> |
|||
| <math> \, \sqrt{1 + \tan^2(x)} </math> |
|||
| <math> \, \frac{\sqrt{\cot^2(x) + 1}}{\cot(x)} </math> |
|||
| <math> \, \sec(x) </math> |
|||
| <math> \, \frac{\csc(x)}{\sqrt{\csc^2(x)-1}} </math> |
|||
|- align=center |
|||
!style="background: #FFEBAD"| csc(x) |
|||
| <math> \, \frac{1}{\sin(x)} </math> |
|||
| <math> \, \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}} </math> |
|||
| <math> \, \frac{\sqrt{1 + \tan^2 (x)}} {\tan(x)} </math> |
|||
| <math> \, \sqrt{\cot^2(x) + 1} </math> |
|||
| <math> \, \frac{\sec(x)}{\sqrt{\sec^2(x) - 1}} </math> |
|||
| <math> \, \csc(x) </math> |
|||
|} |
|||
===រូបមន្តដេរីវេ និង អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគ្រឹះ=== |
|||
ខាងក្រោមនេះជាតារាង[[ដេរីវេ]]និង[[អាំងតេក្រាល]]នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគ្រឹះទាំង៦។ ចំពោះដេរីវេ និង អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទូទៅ សូមមើល [[តារាងដេរីវេ]] [[តារាងអាំងតេក្រាល]] [[តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]]។ |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|- |
|||
| អនុគមន៍ (<math>\ \ f(x)</math>) |
|||
| [[ដេរីវេ]] ( <math>\frac{d}{dx} f(x)</math>) |
|||
| [[អាំងតេក្រាល]] (<math>\int f(x)\,dx</math>) |
|||
|- |
|||
| <math>\,\ \sin x</math> |
|||
| <math>\,\ \cos x</math> |
|||
| <math>\,\ -\cos x + C</math> |
|||
|- |
|||
| <math>\,\ \cos x</math> |
|||
| <math>\,\ -\sin x</math> |
|||
| <math>\,\ \sin x + C</math> |
|||
|- |
|||
| <math>\,\ \tan x</math> |
|||
| <math>\,\ \sec^{2} x</math> |
|||
| <math>-\ln \left |\cos x\right | + C</math> |
|||
|- |
|||
| <math>\,\ \cot x</math> |
|||
| <math>\,\ -\csc^{2} x</math> |
|||
| <math>\ln \left |\sin x\right | + C</math> |
|||
|- |
|||
| <math>\,\ \sec x</math> |
|||
| <math>\,\ \sec{x}\tan{x}</math> |
|||
| <math>\ln \left |\sec x + \tan x\right | + C</math> |
|||
|- |
|||
| <math>\,\ \csc x</math> |
|||
| <math>\,\ -\csc{x}\cot{x}</math> |
|||
| <math>-\ln \left |\csc x + \cot x\right | + C</math> |
|||
|} |
|||
=== មុំនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ === |
|||
<div align="center"> |
|||
{| class="wikitable" style="background: white" |
|||
|- |
|||
!មុំផ្ទុយ |
|||
!មុំបន្ថែម |
|||
!មុំផលដកស្មើ <math>\pi\!</math> |
|||
!មុំបំពេញ |
|||
!មុំផលដកស្មើ <math>\frac{\pi}{2}</math> |
|||
|- |
|||
| style="vertical-align:top;" | |
|||
<math>\cos(-\alpha)=\cos\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\tan(-\alpha)=-\tan\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\cot(-\alpha)=-\cot\alpha\!</math> |
|||
| style="vertical-align:top;" | |
|||
<math>\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha\!</math> |
|||
| style="vertical-align:top;" | |
|||
<math>\cos(\pi + \alpha)=-\cos\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\sin(\pi + \alpha)=-\sin\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\tan(\pi + \alpha)=\tan\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\cot(\pi + \alpha)=\cot\alpha\!</math> |
|||
| style="vertical-align:top;" | |
|||
<math>\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cot\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\cot(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tan\alpha\!</math> |
|||
| style="vertical-align:top;" | |
|||
<math>\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\cot\alpha\!</math><br> |
|||
<math>\cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\tan\alpha\!</math> |
|||
|} |
|||
</div> |
|||
=== រូបមន្តផលបូកត្រីកោណមាត្រ === |
|||
*<math>\sin(\alpha+\beta) = |
|||
\sin\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\, \sin\beta |
|||
</math> |
|||
*<math>\sin(\alpha-\beta) = |
|||
\sin\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\, \sin\beta |
|||
</math> |
|||
*<math>\cos(\alpha+\beta) = |
|||
\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\, \sin\beta |
|||
</math> |
|||
*<math>\cos(\alpha-\beta) = |
|||
\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\, \sin\beta |
|||
</math> |
|||
*<math>\tan(\alpha+\beta) = |
|||
\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\, \tan\beta} |
|||
</math> |
|||
*<math>\tan(\alpha-\beta) = |
|||
\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\, \tan\beta} |
|||
</math> |
|||
== ការគណនាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ == |
|||
ការគណនានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺជាមុខវិជ្ជាដ៏ស៊ាំញ៉ាំមួយដែលសព្វថ្ងៃការគណនាដោយមនុស្សអាចជៀសវៀងបាន ដោយសារតែការរីកចំរើននៃបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ និង ម៉ាស៊ីនគណនាតាមបែបវិទ្យាសាស្រ្តដែលអាចអោយយើងធ្វើការគណនាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះមុំនៅត្រង់តំលៃណាមួយ។ ក្នុងផ្នែកនេះយើងនឹងរៀបរាប់លំអិតអំពីការគណនាក្នុងបរិបទសំខាន់ៗចំនួនបីគឺ៖ បំរើបំរាស់តារាងត្រីកោណមាត្រតាំងពីបុរាណ បច្ចេកវិជ្ជាទំនើបដែលប្រើដោយកុំព្យ័ទ័រ និង មុំសំខាន់ៗមួយចំនួនដែលជាតំលៃពិតធម្មតាងាយស្រួលរក។ |
|||
ជំហានដំបូងក្នុងការគណនាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺប្រើការកាត់បន្ថយចន្លោះមុំ ក្នុងចន្លោះតូចគឺពី ០ ទៅ <math>\ \frac{\pi}{2}</math> ដោយប្រើលក្ខណៈខួប ភាពស៊ីមេទ្រី នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ |
|||
ដំបូងឡើយចំពោះកុំព្យូទ័រ មនុស្សបានគិតតំលៃប្រហែលៗនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដោយការកែខៃពីតារាងលំអិតនៃតំលៃរបស់ពួកវា បានគណនាចំពោះរូបសំខាន់ៗជាច្រើន។ តារាងបែបនេះមានអាចធ្វើបាន ដរាបណាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រត្រូវគេបញ្ជាក់ប្រាប់ និង ត្រូវបានបង្កើតដោយការអនុវត្តន៍សារចុះសារឡើងនៃកន្លះមុំ និង រូបមន្តមុំបន្ថែមចាប់ពីតំលៃដែលគេស្គាល់ (ឧទាហរណ៍ដូចជា <math>\ \sin \frac{\pi}{2} = 1</math> ។ |
|||
កុំព្យូទ័រសម័យទំនើបប្រើប្រាស់បច្ចេកទេសផ្សេងៗគ្នាក្នុងការគណនា។ វិធិសាស្រ្តទូទៅគឺដោយផ្សំពហុធា ឬ ការប៉ានប្រមានសនិទានជាមួយការកាត់បន្ថយចន្លោះមុំ និង ការមើលតារាង ដោយមើលមុំដែលជិតជាងគេក្នុងតារាង បន្ទាប់មកប្រើ[[ពហុធា]]ដើម្បីគណនា។ |
|||
ចំពោះការគណនាអោយជាក់លាក់ក្នុងកំរិតខ្ពស់បំផុត អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រអាចប៉ាន់តំលៃប្រហែលដោយ[[មធ្យមនព្វន្ធ-ធរណីមាត្រ]]។ |
|||
ចុងក្រោយចំពោះមុំធម្មតាមួយចំនួន តំលៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រអាចគណនាបានយ៉ាងងាយដោយដៃដោយប្រើ[[ទ្រឹស្តីបទពីតាករ]] ដូចឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។ តាមពិតស៊ីនុស កូស៊ីនុស និង តង់សង់ នៃមុំជាចំនួនគត់ <math>\ \frac{\pi}{60}</math> រ៉ាដ្យង់ (៣<sup>០</sup>) អាចគណនាដោយដៃ។ |
|||
ឧទាហរណ៍៖ គេមានត្រីកោណកែងដែលមុំពីរទៀតមានតំលៃស្មើគ្នា គឺមុំទាំងពីរស្មើនឹង <math>\ \frac{\pi}{4}</math> (៤៥ដឺក្រ) និង ប្រវែងនៃជ្រុង b និង ជ្រុង a មានប្រវែងស្មើគ្នា ដែលយើងអាចជ្រើសរើសយក a = b = 1 ។ តំលៃនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស និង តង់សង់ នៃមុំ <math>\ \frac{\pi}{4}</math> រ៉ាដ្យង់ (៤៥<sup>០</sup>) អាចគណនាដោយប្រើ[[ទ្រឹស្តីបទពីតាករ]]។ |
|||
: <math>\ c = \sqrt { a^2+b^2 } = \sqrt2 </math> |
|||
ហេតុនេះ |
|||
:<math>\sin \left(\pi / 4 \right) = \sin \left(45^\circ\right) = \cos \left(\pi / 4 \right) = \cos \left(45^\circ\right) = {1 \over \sqrt2}\,</math> |
|||
:<math>\tan \left(\pi / 4 \right) = \tan \left(45^\circ\right) = {{\sin \left(\pi / 4 \right)}\over{\cos \left(\pi / 4 \right)}} = {1 \over \sqrt2} \cdot {\sqrt2 \over 1} = {\sqrt2 \over \sqrt2} = 1\,</math> |
|||
ដើម្បីកំនត់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះមុំ <math>\ \frac{\pi}{3}</math> រ៉ាដ្យង់ (៦០ដឺក្រ) <math>\ \frac{\pi}{6}</math> រ៉ាដ្យង់ (៣០ដឺក្រ) យើងប្រើត្រីកោណសម័ង្សដែលមានរង្វាស់ជ្រុងស្មើនឹង ១ ។ គ្រប់មុំនៃ[[ត្រីកោណសម័ង្ស]]គឺ <math>\ \frac{\pi}{3}</math> រ៉ាដ្យង់ (៦០ដឺក្រ)។ ដោយចែកវាជាពីរយើងទទួលបាន[[ត្រីកោណកែង]]ដែលមានមុំមួយស្មើនឹង <math>\ \frac{\pi}{6}</math> រ៉ាដ្យង់ (៣០ដឺក្រ) និង មុំមួយទៀត <math>\ \frac{\pi}{3}</math> រ៉ាដ្យង់ (៦០ដឺក្រ)។ ចំពោះត្រីកោណនេះជ្រុងដែលខ្លីជាងគេ = <math>\ \frac{1}{2}</math> និង ជ្រុងដែលវែងជាងគេ = <math>\ \frac{\sqrt{3}}{2}</math> គឺ |
|||
:<math>\sin \left(\pi / 6 \right) = \sin \left(30^\circ\right) = \cos \left(\pi / 3 \right) = \cos \left(60^\circ\right) = {1 \over 2}\,</math> |
|||
:<math>\cos \left(\pi / 6 \right) = \cos \left(30^\circ\right) = \sin \left(\pi / 3 \right) = \sin \left(60^\circ\right) = {\sqrt3 \over 2}\,</math> |
|||
:<math>\tan \left(\pi / 6 \right) = \tan \left(30^\circ\right) = \cot \left(\pi / 3 \right) = \cot \left(60^\circ\right) = {1 \over \sqrt3}\,</math> |
|||
ចំពោះសេចក្តីលំអិត សូមមើល[[ចំនួនថេរត្រីកោណមាត្រពិត]]។ |
|||
* '''តំលៃពិសេសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ''' |
|||
ខាងក្រោមនេះជាតារាងតំលៃពិសេសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ជាទូទៅ។ |
|||
{| class="wikitable" style="text-align: center;background: white" |
|||
!style="background: #FFEBAD"|ឈ្មោះអនុគមន៍ |
|||
! <math>0 \ (0^\circ)</math> |
|||
! <math>\frac{\pi}{12} \ (15^\circ)</math> |
|||
! <math>\frac{\pi}{6} \ (30^\circ)</math> |
|||
! <math>\frac{\pi}{4} \ (45^\circ)</math> |
|||
! <math>\frac{\pi}{3} \ (60^\circ)</math> |
|||
! <math>\frac{5\pi}{12} \ (75^\circ)</math> |
|||
!<math>\frac{\pi}{2} \ (90^\circ)</math> |
|||
|- |
|||
!style="background: #FFEBAD"| sin |
|||
| <math>0</math> |
|||
| <math>\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} } {4}</math> |
|||
| <math>\frac{1}{2}</math> |
|||
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> |
|||
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> |
|||
| <math>\frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } {4}</math> |
|||
| <math>1</math> |
|||
|- |
|||
!style="background: #FFEBAD"| cos |
|||
| <math>1</math> |
|||
| <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math> |
|||
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> |
|||
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> |
|||
| <math>\frac{1}{2}</math> |
|||
| <math>\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2}} {4}</math> |
|||
| <math>0</math> |
|||
|- |
|||
!style="background: #FFEBAD"| tan |
|||
| <math>0</math> |
|||
| <math>2-\sqrt{3}</math> |
|||
| <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> |
|||
| <math>1</math> |
|||
| <math>\sqrt{3}</math> |
|||
| <math>2+\sqrt{3}</math> |
|||
| <math>\infty</math> |
|||
|- |
|||
!style="background: #FFEBAD"| cot |
|||
| <math>\infty</math> |
|||
| <math>2+\sqrt{3}</math> |
|||
| <math>\sqrt{3}</math> |
|||
| <math>1</math> |
|||
| <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> |
|||
| <math>2-\sqrt{3}</math> |
|||
| <math>0</math> |
|||
|- |
|||
!style="background: #FFEBAD"| sec |
|||
| <math>1</math> |
|||
| <math>\sqrt{6} - \sqrt{2}</math> |
|||
| <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math> |
|||
| <math>\sqrt{2}</math> |
|||
| <math>2</math> |
|||
| <math>\sqrt{6}+\sqrt{2}</math> |
|||
| <math>\infty</math> |
|||
|- |
|||
!style="background: #FFEBAD"| csc |
|||
| <math>\infty</math> |
|||
| <math>\sqrt{6}+\sqrt{2}</math> |
|||
| <math>2</math> |
|||
| <math>\sqrt{2}</math> |
|||
| <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math> |
|||
| <math>\sqrt{6} - \sqrt{2}</math> |
|||
| <math>1</math> |
|||
|} |
|||
== អនុគមន៍ច្រាស់ == |
|||
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជា[[អនុគមន៍ខួប]] និងមិនមែនជា[[អនុគមន៍មួយទល់នឹងមួយ]] និង មិនមែនជា[[អនុគមន៍ប្រកាន់]]ទេ។ ក្នុងចន្លោះពិតលើដែនកំនត់ជាក់លាក់ណាមួយ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជា[[អនុគមន៍ប្រកាន់]]។ អនុគមន៍ច្រាស់របស់វា (arcsin, arccos, arctan, arccosec, arccotg និង arcsec) ជាទូទៅកំនត់ដោយ៖ |
|||
<ol> |
|||
<li>ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x និង y <br /> |
|||
<math>\ -1 \le x \le 1,\quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}</math><br /> |
|||
<math>\ y = Arcsin (x)</math> លុះត្រាតែ <math>\ x = \sin (y)</math> </li> |
|||
<li>ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x និង y <br /> |
|||
<math>-1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi</math> <br /> |
|||
<math>\ y = Arccos (x)</math> លុះត្រាតែ <math>\ x = \cos (y)</math> |
|||
</li> |
|||
<li>ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x និង y <br /> |
|||
<math>-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}</math><br /> |
|||
<math>\ y = Arctan (x)</math> លុះត្រាតែ <math>\ x = \tan (y)</math> |
|||
</li> |
|||
<li>ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x និង y <br /> |
|||
<math>\ (x \le -1</math> ឬ <math>\ x \ge 1),\quad (-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}</math> និង <math>\ y \ne 0</math>) <br /> |
|||
<math>\ y = arccosec (x)</math> លុះត្រាតែ <math>\ x = cosec(y)</math> |
|||
</li> |
|||
<li>ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x និង y <br /> |
|||
<math>\ (x \le -1</math> ឬ <math>\ x \ge 1), \quad (0 \le y \le \pi</math> និង <math>\ y \ne \frac{\pi}{2})</math> <br /> |
|||
<math>\ y = arcsec (x)</math> លុះត្រាតែ<math> \ x = \sec (y)</math> |
|||
</li> |
|||
<li>ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x និង y <br /> |
|||
<math>\ x ? 0, \quad (0 < y < \pi </math> និង <math>\ y ? \frac{\pi}{2})</math> <br /> |
|||
<math>\ y = arccotg (x)</math> លុះត្រាតែ <math>\ x = cotg (y)</math> |
|||
</li> |
|||
</ol> |
|||
[[អនុគមន៍]]ទាំងនេះអាចសរសេរក្រោមទំរង់[[អាំងតេក្រាលមិនកំនត់]]៖ |
|||
# <math>\operatorname{Arcsin}(x) = \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx</math> |
|||
# <math>\operatorname{Arccos}(x) = \int-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx</math> |
|||
# <math>\operatorname{Arctan}(x) = \int\frac{1}{1 + x^{2}}dx</math> |
|||
# <math>\mathrm{arccosec}(x) = \int-\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}dx</math> |
|||
# <math>\arcsec(x) = \int\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}dx</math> |
|||
# <math>\mathrm{arccotg}(x) = \int-\frac{1}{1 + x^{2}}dx</math> |
|||
សមភាពអនុវត្ត: |
|||
# <math>\cos(\operatorname{Arcsin}(x)) = \sqrt{1 - x^{2}}</math> |
|||
# <math>\sin(\operatorname{Arccos}(x)) = \sqrt{1 - x^{2}}</math> |
|||
# <math>\sin(\operatorname{Arctan}(x)) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}</math> |
|||
# <math>\tan(\operatorname{Arcsin}(x)) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}</math> |
|||
# <math>\tan(\operatorname{Arccos}(x)) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}</math> |
|||
# <math>\cos(\operatorname{Arctan}(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}</math> |
|||
== លក្ខណៈនិងបំរើបំរាស់ == |
|||
[[រូបភាព:Triangle avec hauteur.svg|400px|ស្តាំ]] |
|||
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺជាអនុគមន៍ដ៏មានសារសំខាន់នៅក្នុង[[ត្រីកោណមាត្រ]]។ |
|||
* '''[[ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស]]''' |
|||
'''[[ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស]]'''ពោលថាចំពោះគ្រប់[[ត្រីកោណ]]មួយដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b និង c និងមុំ A, B និង C ជាមុំឈមនឹងជ្រុងទាំងនេះរៀងគ្នា គេបាន៖ |
|||
:<math>\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\,</math> |
|||
ឬសមមូលនឹង |
|||
:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\,</math> |
|||
ដែល R ជា[[កាំ]]នៃ[[រង្វង់ចារឹកក្រៅ]][[ត្រីកោណ]] ABC ។ |
|||
* '''[[ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស]]''' |
|||
ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសគឺជាបន្លាយនៃ[[ទ្រឹស្តីបទពីតាករ]] (មានន័យថាជាករណីទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទពីតាករ)៖ |
|||
:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \,</math> |
|||
ឬ |
|||
:<math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,</math> |
|||
ក្នុងរូបមន្តនេះមុំត្រង់កំពូល C គឺជាមុំឈមនឹងជ្រុងមានរង្វាស់ c ។ ទ្រឹស្តីបទនេះអាចបង្ហាញដោយចែកត្រីកោណជាពីរបំនែក[[ត្រីកោណកែង]] រួចប្រើ[[ទ្រឹស្តីបទពីតាករ]]។ ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ជាញឹកញាប់ក្នុងការកំនត់ប្រវែងជ្រុងមួយនៃត្រីកោណនៅពេលគេស្គាល់ជ្រុងឈម និង មុំមួយ។ គេអាចប្រើវាដើម្បីរកកូស៊ីនុសនៃមុំមួយនៅពេលដែលគេស្គាល់ប្រវែងជ្រុងទាំងអស់នៃត្រីកោណ។ |
|||
* '''[[ទ្រឹស្តីបទតង់សង់]]''' |
|||
:<math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(A+B)]}{\tan[\frac{1}{2}(A-B)]}\,</math> |
|||
បំរើបំរាស់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមិនកំនត់តែនៅក្នុង[[ត្រីកោណ]]ទេ។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជា[[អនុគមន៍ខួប]]ដែលក្រាបរបស់វាត្រូវនឹងម៉ូដែលរលកដែលត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ក្នុងបាតុភូតម៉ូដែលដូចជាលំយោលនៃសំលែង ឬ រលកពន្លឺ។ សញ្ញានិមួយៗអាចត្រូវបានគេសរសេរជាផលបូក (ជាធម្មតាអនន្ត) អនុគមន៍ស៊ីនុស ឬ កូស៊ីនុសនៃដេរីវេប្រេកង់ ដែលវាជា[[ស៊េរីហ្វួរា]] (Fourier series)។ |
|||
ចំពោះរូបមន្តនៃទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ សូមមើល[[តារាងរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ]]។ |
|||
== អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលមិនសូវត្រូបានគេប្រើ == |
|||
[[រូបភាព:Versine.svg|ស្តាំ]] |
|||
ក្រៅពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគ្រឹះចំនួន នៅមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំនួន៦ផ្សេងទៀត៖ |
|||
*'''[[វែរស៊ីនុស]]''' <math>\textrm{versin}(\theta) = 1 - \cos (\theta) = 2 \sin^2\left(\frac{\theta} {2}\right) \,</math> |
|||
*'''[[កូវែរស៊ីនុស]]''' <math>\textrm{coversin}(\theta) = \textrm{versin}(\pi/2 - \theta) = 1 - \sin(\theta) \,</math> |
|||
*'''[[កន្លះវែរស៊ីនុស]]''' <math>\textrm{haversin}(\theta) = \frac {\textrm{versin}(\theta)} {2} = \sin^2\left(\frac {\theta} {2} \right) </math> |
|||
*'''[[កន្លះកូវែរស៊ីនុស]]''' <math>\textrm{hacoversin}(\theta) = \textrm{haversin}\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac {\textrm{coversin}(\theta)} {2} </math> |
|||
*'''[[អិចសេកង់]]''' <math>\textrm{exsec}(\theta) = \sec(\theta) - 1 \,</math> |
|||
*'''[[អិចកូសេកង់]]''' <math>\textrm{excsc}(\theta) = \textrm{exsec}(\pi/2 - \theta) = \csc(\theta) - 1 \!</math> |
|||
[[Category:ត្រីកោណមាត្រ]] |
|||
[[Category:គណិតវិទ្យា]] |
|||
[[Category:អនុគមន៍]] |
|||
[[Category:ត្រីកោណ]] |
|||
<!-- អត្ថបទពិសេស៖ [[វិគីភីឌា:អត្ថបទពិសេស]] --> |
|||
{{អត្ថបទពិសេស}} |
|||
{{Link FA|en}} |
|||
{{Link FA|fr}} |
|||
{{Link FA|zh}} |
|||
{{Link FA|en}} |
|||
[[ar:دوال مثلثية]] |
|||
[[ast:Función trigonométrica]] |
|||
[[bg:Тригонометрична функция]] |
|||
[[bs:Trigonometrijske funkcije]] |
|||
[[ca:Funció trigonomètrica]] |
|||
[[cs:Goniometrická funkce]] |
|||
[[da:Trigonometrisk funktion]] |
|||
[[de:Trigonometrische Funktion]] |
|||
[[el:Τριγωνομετρική συνάρτηση]] |
|||
[[en:Trigonometric functions]] |
|||
[[eo:Trigonometria funkcio]] |
|||
[[es:Función trigonométrica]] |
|||
[[et:Trigonomeetrilised funktsioonid]] |
|||
[[fa:سینوس (ریاضیات)]] |
|||
[[fi:Trigonometrinen funktio]] |
|||
[[fr:Fonction trigonométrique]] |
|||
[[gl:Función trigonométrica]] |
|||
[[hu:Szögfüggvények]] |
|||
[[id:Fungsi trigonometrik]] |
|||
[[io:Trigonometriala funciono]] |
|||
[[is:Hornafall]] |
|||
[[it:Funzione trigonometrica]] |
|||
[[ja:三角関数]] |
|||
[[ko:삼각함수]] |
|||
[[lo:ຕຳລາໄຕມຸມ]] |
|||
[[lv:Trigonometriskās funkcijas]] |
|||
[[nl:Goniometrische functie]] |
|||
[[no:Trigonometriske funksjoner]] |
|||
[[pl:Funkcje trygonometryczne]] |
|||
[[pt:Função trigonométrica]] |
|||
[[ro:Funcţie trigonometrică]] |
|||
[[ru:Тригонометрические функции]] |
|||
[[sh:Trigonometrijske funkcije]] |
|||
[[simple:Trigonometric function]] |
|||
[[sk:Goniometrická funkcia]] |
|||
[[sl:Trigonometrična funkcija]] |
|||
[[sq:Funksionet trigonometrike]] |
|||
[[sr:Тригонометријске функције]] |
|||
[[sv:Trigonometrisk funktion]] |
|||
[[tg:Функсияҳои тригонометрӣ]] |
|||
[[th:ฟังก์ชันตรีโกณมิติ]] |
|||
[[tr:Trigonometrik fonksiyonlar]] |
|||
[[uk:Тригонометричні функції]] |
|||
[[vi:Hàm lượng giác]] |
|||
[[zh:三角函数]] |
|||
[[zh-classical:三角函數]] |
|||
កំណែថ្មីបំផុតនៅ ម៉ោង១៨:២៧ ថ្ងៃសៅរ៍ ទី២០ ខែកុម្ភៈ ឆ្នាំ២០១០
បញ្ជូនបន្តទៅ៖