បំលែងឡាប្លាស

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា បំលែងឡាប្លាស (Laplace transform) ជាបំលែងអាំងតេក្រាលដ៏ល្បីល្បាញមួយក្នុងចំនោមបំលែងជាច្រើន ដែលត្រួវបានគេប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ វាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់​ជាទូទៅដើម្បីធ្វើអោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា​ទៅជាសមីការពិជគណិត​ដែលងាយៗ​ដើម្បីសំរួល​ក្នុងដោះស្រាយ។ បំលែងឡាប្លាសត្រូវបានគេប្រើក្នុងការអនវត្តន៍សំខាន់ៗជាច្រើនក្នុង​គណិតវិទ្យា អុបទិក វិស្វកម្មអគិ្គសនី control engineering , signal processing និងួទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ក្នងគណិតវិទ្យា ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និង សមីការអាំងតេក្រាល។

ប្រវត្តិ

រូបភាព​លោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស​ក្នុងឆ្នាំ១៨៤២

បំលែងឡាប្លាសត្រូវដាក់ឈ្មោះដោយផ្តល់កិត្តិយល់ដល់គណិតវិទូ និង តារាវិទូជនជាតិបារាំងគឺលោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស (Pierre-Simon Laplace) ដែលបានប្រើប្រាស់​បំលែងនេះក្នុងកិច្ចការ​របស់គាត់ចំពោះទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ពីឆ្នាំ១៧៤៤ លេអុណាដ អឺលែរ (Leonhard Euler) បានធ្វើការសង្កេតទៅលើអាំងតេក្រាលដែលមានទំរង់៖

$z=\int X(x)e^{ax}\,dx\,$ និង $z=\int X(x)x^{A}\,dx$

និយមន័យ

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ f(t) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត t ≥ 0 គឺជាអនុគមន៍ F(s) កំនត់ដោយ៖

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

ដែល $\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$ ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលឡាប្លាស។

រូបមន្តគ្រឹះ

អនុគមន៍ដើម f(t)	បំលែងឡាប្លាស F(s)
$e^{at}f(t)\,$	$F(s-a)\,$
$f(at)\,$	${\frac {1}{a}}F({\frac {s}{a}});\quad a>0$
$f'(t)\,$	$sF(s)-f(0)\,$
$f''(t)\,$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\,$
$t^{k}f(t)\,$	$(-1)^{k}F^{(k)}(s)\,$
$f*g\,$	$F(s)G(s)\quad ;{\mathcal {L}}[g(t)]=G(s)$
$1\,$	${\frac {1}{s}}$
$t\,$	${\frac {1}{s^{2}}}$
$t^{n}\,$	${\frac {n!}{s^{n+1}}}$
$e^{at}\,$	${\frac {1}{s-a}}\,$
$e^{at}t\,$	${\frac {1}{(s-a)^{2}}}$
$\sin \omega t\,$	${\frac {\omega }{s^{2}+{\omega }^{2}}}\,$
$\cos \omega t\,$	${\frac {s}{s^{2}+{\omega }^{2}}}$
$\sinh \omega \,$	${\frac {\omega }{s^{2}-{\omega }^{2}}}\,$
$\cosh \omega t\,$	${\frac {s}{s^{2}-{\omega }^{2}}}\,$
$t\sin \omega t\,$	${\frac {2\omega s}{(s^{2}+{\omega }^{2})^{2}}}$
$t\cos \omega t\,$	${\frac {s^{2}-{\omega }^{2}}{(s^{2}+{\omega }^{2})^{2}}}$
$e^{at}\sin \omega t\,$	${\frac {\omega }{(s-a)^{2}+{\omega }^{2}}}$
$e^{at}\cos \omega t\,$	${\frac {(s-a)}{(s-a)^{2}+{\omega }^{2}}}$

លក្ខណៈនិងទ្រឹស្តីបទ

គេមានអនុគមន៍ f(t) , g(t) និងបំលែងឡាប្លាសរបស់វារៀងគ្នា F(s) ,G(s):

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\},\qquad g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}$

គេបានតារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាសដូចខាងក្រោម

តារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាស

	អនុគមន៍	បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍	សំគាល់​​​​​​​
លីនែអ៊ែរ	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	អាចទទួលបានដោយប្រើក្បូនគោលនៃអាំងតេក្រាល
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់	$tf(t)\$	$-F'(s)\$
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$	ទំរង់ទូទៅ
ដេរីវេ	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0^{-})\$	ទទួលបានដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក
ដេរីវេទី២	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\$
ដេរីវេទូទៅ	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})\$
អាំងតេក្រាលប្រេកង់	${\frac {f(t)}{t}}\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$
អាំងតេក្រាល	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)$	${1 \over s}F(s)$	$u(t)\,$ ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ (Heaviside step function)។
Scaling	$f(at)\$	${1 \over |a|}F\left({s \over a}\right)$
	$e^{at}f(t)\$	$F(s-a)\$
	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	$u(t)\,$ ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ
	$(f*g)(t)\$	$F(s)\cdot G(s)\$
អនុគមន៍ខួប	$f(t)\$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$	$f(t)\,$ ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T ដែល$f(t)=f(t+T),\;\forall t\geq 0$

• ទ្រឹស្តីបទតំលៃដើម:

$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$

• ទ្រឹស្តីបទតំលៃចុងបំផុត:

$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$,ប្រសិនបើគ្រប់ប៉ូលនៃ $sF(s)$ គឺស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដៃខាងឆ្វេង។

លក្ខណៈលីនេអ៊ែរ

${\mathcal {L}}\left\{af+bg\right\}=a\,{\mathcal {L}}\left\{f\right\}+b\,{\mathcal {L}}\left\{g\right\}$

ដេរីវេ

${\mathcal {L}}\{f'\}=p{\mathcal {L}}\{f\}-f(0+)$

${\mathcal {L}}\{f''\}=p^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-pf(0+)-f'(0+)$

${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=p^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-p^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(p)$

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{p}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma$

រូបមន្តទី៥អាចត្រូវបានបង្ហាញលក្ខណៈ

ចេញពីនិយមន័យនៃ ${\mathcal {\,}}F(\sigma )=\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt{\mid }_{p=\sigma }\,$

និង :${\mathcal {\,}}\int _{p}^{\infty }F(\sigma )d{\sigma }=\int _{0}^{\infty }\int _{p}^{\infty }e^{-{\sigma }t}f(t)dtd{\sigma }\,$

${\mathcal {\,}}\Longrightarrow \int _{p}^{\infty }F({\sigma })d{\sigma }=\int _{0}^{\infty }f(t)dt\cdot \int _{p}^{\infty }e^{-{\sigma }t}d{\sigma }\,$

ដោយការគណនាអាំងតេក្រាល

${\mathcal {\,}}\int _{p}^{\infty }F(\sigma )d{\sigma }=\int _{0}^{\infty }f(t)dt\cdot ({\frac {1}{t}}e^{-pt})\,$

ដែលជាបំលែងនៃ ${\mathcal {\,}}{\frac {f(t)}{t}}\,$ ដូច្នេះ ${\mathcal {\,}}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}\,$

ដូច្នេះ :${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{p}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma$

អាំងតេក្រាល

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over p}{\mathcal {L}}\{f\}$

${\mathcal {L}}\left\{\int _{a}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over p}{\mathcal {L}}\{f\}+{1 \over p}\int _{a}^{0}f(\tau )d\tau$

តំលៃចុងក្រោយ

$\lim _{t\to +\infty }f(t)=\lim _{p\to 0}pF(p)$

តំលែដើម

$\lim _{t\to 0+}f(t)=\lim _{p\to +\infty }pF(p)$

Convolution

${\mathcal {L}}\{f*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}$

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T

${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-Tp}}\int _{0}^{T}e^{-pt}f(t)\,dt$

• គេអាចបង្ហាញរូបមន្តនៃលក្ខណៈដូចតទៅ៖

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-pt}f(t)dt{\mid }_{t=u}+\int _{T}^{2T}e^{-pt}f(t)dt{\mid }_{t=u+T}\int _{2T}^{3T}e^{-pt}f(t)dt{\mid }_{t=u+2T}+...\,$

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-pt}f(u)du+\int _{T}^{2T}e^{-p(u+T)}f(u+T)du+\int _{2T}^{3T}e^{-p(u+2T)}f(u+2T)du+...\,$

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+e^{-pT}\int _{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+e^{-2pT}\int _{0}^{T}e^{-pu}f(u)dT+...\,$

គេផ្តុំតួរនីមួយៗ:

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt=(1+e^{-pT}+e^{-2pT}+...)\int _{0}^{T}e^{-pT}f(T)du{\mid }_{u=t}\,$

ដូចនេះ ${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-Tp}}\int _{0}^{T}e^{-pt}f(t)\,dt$

តារាងរូបមន្តសង្ខេបបំលែងឡាប្លាស

តារាងខាងក្រោមផ្តល់នូវរូបមន្តបំលែងឡាប្លាសទូទៅនៃអថេរមួយ។ ចំពោះនិយមន័យនិងសេចក្តីពន្យល់សូមមើលសំគាល់ផ្នែកខាងចុងនៃតារាង។

• បំលែងឡាប្លាសនៃផលបូកគឺជាផលបូកនៃបំលែងឡាប្លាសនៃតួរនិមួយៗ។

${\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$

• បំលែងឡាប្លាសច្រើនដងនៃអនុគមន៍មួយគឺ​មានបំលែងឡាប្លាសជាចំនួនច្រើនដងនៃអនុគមន៍នោះ។

${\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$

បំលែងឡាប្លាសតែឯងគឺពិតជាត្រឹមត្រូវនៅពែល t ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន ដែលគ្រប់អនុគមន៍ដើមក្នុងតារាងគឺជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយជាច្រើន u(t) ។

ID	ឈ្មោះអនុគមន៍	អនុគមន៍ដើម $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	បំលែងឡាប្លាស $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$	causal systems
1	ideal delay	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
1a	unit impulse	$\delta (t)\$	$1\$	$\mathrm {all} \ s\,$
2	delayed nth power with frequency shift	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2a	ស្វ័យគុណទី n ( ចំពោះចំនួនគត់ n )	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	${1 \over s^{n+1}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2a.1	ស្វ័យគុណទី q (ចំនួនពិត q )	${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$	${1 \over s^{q+1}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2a.2	អនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ	$u(t)\$	${1 \over s}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2b	delayed unit step	$u(t-\tau )\$	${e^{-\tau s} \over s}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2c	ramp	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2d	nth power with frequency shift	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \,$
2d.1	exponential decay	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	${\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \$
3	exponential approach	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\$
4	ស៊ីនុស	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\$
5	កូស៊ីនុស	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\$
6	ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\$
7	កូស៊ីនុសអ៊ីពែលីក	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\$
8	Exponentially-decaying sine wave	$e^{\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \$
9	Exponentially-decaying cosine wave	$e^{\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s-\alpha \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \$
10	រឺសទីn	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
11	លោការីតធម្មជាតិ	$\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)$	$-{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
12	Bessel function of the first kind, of order n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$ $(n>-1)\,$
13	Modified Bessel function of the first kind, of order n	$I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>|\omega |\,$
14	Bessel function of the second kind, of order 0	$Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$	$-{2\sinh ^{-1}(s/\alpha ) \over \pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
15	Modified Bessel function of the second kind, of order 0	$K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
16	Error function	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${e^{s^{2}/4}\left(1-\operatorname {erf} \left(s/2\right)\right) \over s}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
សំគាល់: $u(t)\,$ តំណាងអោយអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ $\delta (t)\,$ តំណាងអោយ Dirac delta function $\Gamma (z)\,$ តំណាងអោយហ្គាំម៉ា $\gamma \,$ ជាថេរអឺលែរម៉ាសឆេរ៉ូនី $t\,$ ជាចំនួនពិតតំណាងអោយពេល (time) $s\,$ ជា[[ចំនួនកុំផ្លិច angular frequency និង${\textrm {Re}}\{s\}$ ជាផ្នែកពិត. $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$, និង $\omega \,$ ចំនួនពិត $n\,$ ជាចំនួនគត់