ទ្រឹស្តីបទគ្រីន

ក្នុងរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទគ្រីន (Green`s theorem) ផ្តល់ទំនាក់ទំនងរវាងអាំងតេក្រាលខ្សែកោងបិទ $C\,$ និងអាំងតេក្រាលឌុបលើតំបន់$D\,$ដែលបិទដោយ $C\,$ ។ វាជាករណីពិសេសវិមាត្រ២នៃទ្រឹស្តីបទស្តូក(Stokes` theorem) ហើយវាត្រូបានដាក់ឈ្មោះតាមលោក ចច គ្រីន (George Green) ដែលជាអ្នកវិទ្យាសាស្រ្តជាតិអង់គ្លេស​ ។

តាង $C\,$ ជាខ្សែកោងមានទិសដៅ និងបិទជិតក្នុងប្លង់R² ហើយតាង $D\,$ ជាតំបន់ដែលបិទដោយ$C\,$ ។ បើ $L\,$ និង$M\,$ ជាអនុគមន៍នៃ (x, y) កំនត់លើប្លង់បើកដែលមាន$D\,$ ហើយមានដេរីវេជាប់ នោះគេបាន

$\int_{C} (L\, dx + M\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA$

ដែល $dA = dxdy\,$ ។

ពេលខ្លះខ្សែកោងតូចមួយត្រូបានគេដាក់លើសញ្ញាអាំងតេក្រាល$\left(\oint_{C}\right)$ ដើម្បីបង្ហាញថាខ្សែកោង $C\,$ គឺបិទ។

ការបង្ហាញនៅពេល$D\,$ជាតំបន់ធម្មតា

If D ជាតំបន់ធម្មតា ភ្ជាប់ជាមួយព្រំដែនរបស់វាដែលមាន C₁, C₂, C₃, C₄ ទ្រឹស្តីបទគ្រីនអាចត្រូវបានបង្ហាញ។

ខាងក្រោមនេះគឺជាការបង្ហាញនៃទ្រឹស្តីបទ ចំពោះផ្ទៃសមញ្ញ$D\,$ មានតំបន់ប្រភេទI ដែលC₂ និង C₄ ជាបន្ទាត់ឈរ។ ការបង្ហាញស្រដៀងគ្នាមានពេលដែល$D\,$គឺជាតំបន់ប្រភេទ II​ ដែលC₁ និង C₃ ជាបន្ទាត់ត្រង់។

បើវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា

$\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}$

និង

$\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}$

គឺពិត នោះទ្រឹស្តីបទគ្រីនត្រូបានបង្ហាញក្នុងករណីដំបូង។

កំនត់តំបន់Dប្រភេទI ដូចរូបភាពនៅខាងស្តាំដោយ

$D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}$

ដែល g₁ និង g₂ ជាអនុគមន៍ជាប់លើ [a, b] ។ គណនាអាំងតេក្រាលឌុបក្នុង (1):

$\iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA$	$=\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L}{\partial y} (x,y)\, dy\, dx \right]$
	$= \int_a^b \Big\{L(x,g_2(x)) - L(x,g_1(x)) \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}$

ឥឡូវគណនាអាំតេក្រាលខ្សែកោងក្នុង(1)។ C អាចត្រូវគេសរសេរជាប្រជុំនៃខ្សែកោងបួន C₁, C₂, C₃, C₄ ។

ជាមួយ C₁ ប្រើសមីការប៉ារ៉ាមែត្រ : x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b ។ នោះគេបាន

$\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L(x,g_1(x))\Big\}\, dx$

ជាមួយ C₃ ប្រើសមីការប៉ារ៉ាមែត្រ : x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b ។ នោះគេបាន

$\int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx$

អាំងតេក្រាលលើ C₃ គឺមិនមាន ព្រោះវាមានទិសដៅអវិជ្ជមាន b ទៅ a ខណះ C ត្រូវបានគេដៅអោយមានទិសដៅវិជ្ជមាន ។ លើ C₂ និង C₄ x រក្សាភាពថេរ មានន័យថា

$\int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0$

ដូច្នេះ​

$\int_{C} L\, dx$	$= \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx$
	$= -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}$

ដោយបូកបញ្ចូល (3) ជាមួយ (4) យើងទទួលបាន​ (1)​ ។ ការគណនាស្រដៀងគ្នានេះគេនឹងទទួលបាន (2) ។

ទំនាក់ទំនងនឹងទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់(divergence theorem)

ទ្រឹស្តីបទគ្រីន គឺស្មើនឹងទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់អាណាឡូកដែលមានវិមាត្រ២ដូចខាងក្រោម នៃទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់ :

$\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds,$

ដែល $\mathbf{\hat n}$ ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតាដែលចង្អុលចេញក្រៅលើព្រំដែន ។

ដើម្បីឃើញវា កំនត់ណរម៉ាល់ឯកតានៅក្នុងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។ ដោយ $d\mathbf{r} = \langle dx, dy\rangle$ ជាវ៉ិចទ័រដែលចង្អុលប៉ះតាមខ្សែកោង ហើយខ្សែកោង C ត្រូវបានដាក់ជាខ្សែកោងអោយមានទិសដៅវិជ្ជមានតាមព្រំដែន នោះវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ជាវ៉ិទ័រចង្អុលមុះ 90° ទៅខាងស្តាំ ដែលគួរតែ $\langle dy, -dx\rangle$ ។ ប្រវែងរបស់វ៉ិចទ័រនេះ គឺ $\sqrt{dx^2 + dy^2} = ds$ ។ ដូចនេះ $\mathbf{\hat n}\,ds = \langle dy, -dx\rangle$​ ។​

ឥឡូវតាង $\mathbf{F} = \langle P, Q\rangle$​ ។ នោះផ្នែកដៃខាងស្តាំទៅជា

$\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds = \int_C P dy - Q dx$

ដែលតាមរយះទ្រឹស្តីបទគ្រីន ទៅជា

$\int_C -Q dx + P dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA$