ទ្រឹស្តីបទគ្រីន

ដោយសព្វវចនាធិប្បាយសេរីវិគីភីឌា

ទៅកាន់៖ ទិសដៅ, ស្វែងរក

ក្នុងរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទគ្រីន (Green`s theorem) ផ្តល់ទំនាក់ទំនងរវាងអាំងតេក្រាលខ្សែកោងបិទ C\, និងអាំងតេក្រាលឌុបលើតំបន់D\,ដែលបិទដោយ C\, ។ វាជាករណីពិសេសវិមាត្រ២នៃទ្រឹស្តីបទស្តូក(Stokes` theorem) ហើយវាត្រូបានដាក់ឈ្មោះតាមលោក ចច គ្រីន (George Green) ដែលជាអ្នកវិទ្យាសាស្រ្តជាតិអង់គ្លេស​ ។

តាង C\, ជាខ្សែកោងមានទិសដៅ និងបិទជិតក្នុងប្លង់R2 ហើយតាង D\, ជាតំបន់ដែលបិទដោយC\, ។ បើ L\, និងM\, ជាអនុគមន៍នៃ (x, y) កំនត់លើប្លង់បើកដែលមានD\, ហើយមានដេរីវេជាប់ នោះគេបាន

\int_{C} (L\, dx + M\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA

ដែល dA = dxdy\, ។

ពេលខ្លះខ្សែកោងតូចមួយត្រូបានគេដាក់លើសញ្ញាអាំងតេក្រាល\left(\oint_{C}\right) ដើម្បីបង្ហាញថាខ្សែកោង C\, គឺបិទ។

[កែប្រែ] ការបង្ហាញនៅពេលD\,ជាតំបន់ធម្មតា

If D ជាតំបន់ធម្មតា ភ្ជាប់ជាមួយព្រំដែនរបស់វាដែលមាន C1, C2, C3, C4 ទ្រឹស្តីបទគ្រីនអាចត្រូវបានបង្ហាញ។

ខាងក្រោមនេះគឺជាការបង្ហាញនៃទ្រឹស្តីបទ ចំពោះផ្ទៃសមញ្ញD\, មានតំបន់ប្រភេទI ដែលC2 និង C4 ជាបន្ទាត់ឈរ។ ការបង្ហាញស្រដៀងគ្នាមានពេលដែលD\,គឺជាតំបន់ប្រភេទ II​ ដែលC1 និង C3 ជាបន្ទាត់ត្រង់។

បើវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា

\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}

និង

\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}

គឺពិត នោះទ្រឹស្តីបទគ្រីនត្រូបានបង្ហាញក្នុងករណីដំបូង។

កំនត់តំបន់Dប្រភេទI ដូចរូបភាពនៅខាងស្តាំដោយ

D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}

ដែល g1 និង g2 ជាអនុគមន៍ជាប់លើ [a, b] ។ គណនាអាំងតេក្រាលឌុបក្នុង (1):

\iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA =\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L}{\partial y} (x,y)\, dy\, dx \right]
= \int_a^b \Big\{L(x,g_2(x)) - L(x,g_1(x)) \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}

ឥឡូវគណនាអាំតេក្រាលខ្សែកោងក្នុង(1)។ C អាចត្រូវគេសរសេរជាប្រជុំនៃខ្សែកោងបួន C1, C2, C3, C4 ។

ជាមួយ C1 ប្រើសមីការប៉ារ៉ាមែត្រ : x = x, y = g1(x), a ≤ x ≤ b ។ នោះគេបាន

\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L(x,g_1(x))\Big\}\, dx

ជាមួយ C3 ប្រើសមីការប៉ារ៉ាមែត្រ : x = x, y = g2(x), a ≤ x ≤ b ។ នោះគេបាន

\int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx

អាំងតេក្រាលលើ C3 គឺមិនមាន ព្រោះវាមានទិសដៅអវិជ្ជមាន b ទៅ a ខណះ C ត្រូវបានគេដៅអោយមានទិសដៅវិជ្ជមាន ។ លើ C2 និង C4 x រក្សាភាពថេរ មានន័យថា

\int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0

ដូច្នេះ​

\int_{C} L\, dx = \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx
= -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}

ដោយបូកបញ្ចូល (3) ជាមួយ (4) យើងទទួលបាន​ (1)​ ។ ការគណនាស្រដៀងគ្នានេះគេនឹងទទួលបាន (2) ។

[កែប្រែ] ទំនាក់ទំនងនឹងទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់(divergence theorem)

ទ្រឹស្តីបទគ្រីន គឺស្មើនឹងទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់អាណាឡូកដែលមានវិមាត្រ២ដូចខាងក្រោម នៃទ្រឹស្តីបទឌីវែរសង់ :

\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds,

ដែល \mathbf{\hat n} ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតាដែលចង្អុលចេញក្រៅលើព្រំដែន ។

ដើម្បីឃើញវា កំនត់ណរម៉ាល់ឯកតានៅក្នុងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។ ដោយ d\mathbf{r} = \langle dx, dy\rangle ជាវ៉ិចទ័រដែលចង្អុលប៉ះតាមខ្សែកោង ហើយខ្សែកោង C ត្រូវបានដាក់ជាខ្សែកោងអោយមានទិសដៅវិជ្ជមានតាមព្រំដែន នោះវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ជាវ៉ិទ័រចង្អុលមុះ 90° ទៅខាងស្តាំ ដែលគួរតែ \langle dy, -dx\rangle ។ ប្រវែងរបស់វ៉ិចទ័រនេះ គឺ \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds ។ ដូចនេះ \mathbf{\hat n}\,ds = \langle dy, -dx\rangle​ ។​

ឥឡូវតាង \mathbf{F} = \langle P, Q\rangle​ ។ នោះផ្នែកដៃខាងស្តាំទៅជា

\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds = \int_C P dy - Q dx

ដែលតាមរយះទ្រឹស្តីបទគ្រីន ទៅជា

\int_C -Q dx + P dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA
បានមកវិញពី "http://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%91%E1%9F%92%E1%9E%9A%E1%9E%B9%E1%9E%9F%E1%9F%92%E1%9E%8F%E1%9E%B8%E1%9E%94%E1%9E%91%E1%9E%82%E1%9F%92%E1%9E%9A%E1%9E%B8%E1%9E%93"