លីមីត

និយមន័យ

អនុគមន៍ $f(x)\,$ មានលីមីត $L\,$ កាលណា $x\,$ ខិតជិត $c\,$ មានន័យថា ចំពោះគ្រប់ចំនួន $\varepsilon>0\,$ គេមានចំនួន $\delta > 0\,$ ដែល $0<|x-c|<\delta\,$ គេបាន $|f(x)-L|<\varepsilon\,$ ។

ឬ សរសេរជាទំរង់សញ្ញា

$\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \ \forall x (0 < |x - c| < \delta \ \rightarrow \ |f(x) - L| < \varepsilon)$។

គេសរសេរ :$\lim_{x \to c}f(x) = L$

ឧទាហរណ៍ ប្រើនិយមន័យបង្ហាញថា :$\lim_{x \to 1}(5x-3) = 2\,$ ។

តាមនិយមន័យគេបាន $c=1 \,;\, f(x)=5x-3 \,$ និង $L=2\,$ ។

ដើម្បីបង្ហាញថា  :$\lim_{x \to 1}(5x-3) = 2\,$ គេត្រូវបង្ហាញថា គ្រប់ចំនួន $\varepsilon>0\,$ គេមានចំនួន $\delta>0\,$ ដែល $0<|x-1|<\delta\,$ នាំអោយ $|(5x-3)-2|<\varepsilon\,$ ។

ទ្រឹស្តីបទលីមីត

ទ្រឹស្តីបទ១

បើ $\lim_{x \to c}f(x) = L$ និង $\lim_{x \to c}g(x) = M$ ហើយ $L; M ; K \,$ ជាចំនួនពិត។

១. $\lim_{x \to c}[f(x) \pm g(x)] = L \pm M\,$

២. $\lim_{x \to c}[f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M\,$

៣. $\lim_{x \to c}Kf(x) = K \cdot L \,$

៤. $\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \,$ បើ $M \ne 0\,$

៥. $\lim_{x \to c}[f(x)]^n = L^n \, \, n$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន។

ទ្រឹស្តីបទ២

លីមីតនៃអនុគមន៍ពហុធា

បើ $p\,$ ជាអនុគមន៍ពហុធា និង $c\,$ ជាចំនួនពិតគេបាន $\lim_{x \to c}p(x) = p(c)\,$ ។

សំរាយបញ្ជាក់ : គេអោយអនុគមន៍ $p\,$ ដែល $p(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0\,$

អនុវត្តផលបូកលីមីត និង ផលគុណចំនួនថេរគេបាន

$\lim_{x \to c}p(x) = a_n[\lim_{x \to c}x^n] + ... + a_1[\lim_{x \to c}x] + \lim_{x \to c}a_0\,$ ។ ដូចនេះ គេបាន $\lim_{x \to c}p(x) = a_nc^n + ... + a_1c + a_0 = p(c)\,$ ។

ទ្រឹស្តីបទ៣

លីមីតនៃអនុគមន៍សនិទាន

បើ $r\,$ ជាអនុគមន៍សនិទាន ដែល $r(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\,$ និង $c\,$ ជាចំនួនពិតដែល $q(c) \ne 0\,$ នោះគេបាន $\lim_{x \to c}r(x) = r(c) = \frac{p(c)}{q(c)}\,$ ។

សំរាយបញ្ជាក់ : តាមទ្រឹស្តីបទ២ គេបាន $\lim_{x \to c}p(x) = p(c)\,$ និង $\lim_{x \to c}q(x) = q(c)\,$ ។ ដោយ $q(c) \ne 0\,$ គេអនុវត្តលក្ខណៈ៤នៃទ្រឹស្តីបទ១ ។

គេបាន $\lim_{x \to c}r(x) = \lim_{x \to c}\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{\lim_{x \to c}p(x)}{\lim_{x \to c}q(x)} = r(c)\,$ ។

ទ្រឹស្តីបទ៤

លីមីតនៃអនុគមន៍ជាប់រ៉ាឌីកាល់ (រឺ អនុគមន៍អសនិទាន)

• បើ $c>0\,$ និង $n\,$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន រឺ បើ $c \le 0\,$និង $n\,$ ជាសំនួនសេស

• ​ គេបាន $lim_{x \to c}\sqrt [n]{x} = \sqrt [n]{c} \,$ ។

• បើ $\lim_{x \to c}f(x) = L$ និង $c\,$ ជាចំនួនពិតគេបាន $lim_{x \to c}\sqrt [n]{f(x)} = \sqrt [n]{\lim_{x \to c}f(x)} = \sqrt [n]{L} = (L)^{\frac{1}{n}} \,$ ។

$L>0\,$ និង $n\,$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន ឬ $L \le 0\,$ និង $n\,$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមានសេស។

ទ្រឹស្តីបទ៥

លីមីតនៃអនុគមន៍បណ្តាក់

បើ $f\,$ និង $g\,$ ជាអនុគមន៍ដែល $\lim_{x \to c}g(x) = L \,$ និង $\lim_{x \to L}f(x) = f(L)\,$ នោះ​ $\lim_{x \to c}f[g(x)] = f(L) \,$ ។

ទ្រឹស្តីបទ៦

លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

បើ $c\,$ ជាចំនួនពិតស្ថិតក្នុងដែនកំនត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលអោយ គេបាន

១. $\lim_{x \to c}sinx = sinc\,$

២. $\lim_{x \to c}cosx = cosc\,$

៣. $\lim_{x \to c}tanx = tanc\,$

៤. $\lim_{x \to c}cotx = cotc\,$ ។

ទ្រឹស្តីបទ៧

លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសំខាន់

១. $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1\,$

២. $\lim_{x \to 0}\frac{1 - cosx}{x} = 0\,$