វិសមភាពស្យ៉ឺរ

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា, វិសមភាពស្យ៉ឺរ (Schur's inequality) ត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះដោយយកតាមឈ្មោះរបស់លោក អ៊ីសសាយ ស្យ៉ឺរ (Issai Schur) ។ វិសមភាពនេះចែងថា​ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត​មិនអវិជ្ជមាន x y z និងចំនួនវិជ្ជមាន t គេបាន

$x^t (x-y)(x-z) + y^t (y-z)(y-x) + z^t (z-x)(z-y) \ge 0$

វិសមភាពនេះក្លាយសមភាពលុះត្រាតែ x = y = z ឬ តួពីរក្នុងចំនោមតួទាំងបីនេះស្មើគ្នា និងតួមួយផ្សេងទៀតមានតំលៃស្មើសូន្យ។ នៅពេល t ជាចំនួនគត់វិជ្ជមានហើយគូរ នោះវិសមភាពគឺពិតចំពោះចំនួនពិត x, y និង z ។

សំរាយបញ្ជាក់

ដោយសារតែ$x,y,z \,$ឆ្លុះចំពោះវិសមភាព យើងអាចសន្មតថាវាមិនបាត់បង់លក្ខណៈទូទៅដែលថា $x \geq y \geq z \,$ទេ។ គេបានវិសមភាពអាចសំដែងជារាង

$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z) \geq 0\,$

គ្រប់តួរនិមួយៗនៅអង្គខាងធ្វេងនៃសមីការគឺមិនអាចអវិជ្ជមានទេ។

ការពន្លាត

លក្ខណៈទូទៅនៃវិសមភាពស្យ៉ឺរ (Schur's inequality) ឧបមា a,b,c គឺជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ (a,b,c) និង (x,y,z) គឺ similarly sorted នោះគឺគេបាន៖

$a (x-y)(x-z) + b (y-z)(y-x) + c (z-x)(z-y) \ge 0$

នៅក្នុងឆ្នាំ២០០៧ អ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិរ៉ូម៉ានីឈ្មោះ Valentin Vornicu បានបង្ហាញថាទំរង់លក្ខណ៖ពិសេសនៃវិសមភាពស្យ៉ឺរនៅមានបន្ថែមទៀត៖

គេមាន $a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}$, ដែល$a \geq b \geq c$, និង $x \geq y \geq z$ ឬ $z \geq y \geq x$។ តាង$k \in \mathbb{Z}^{+}$, និងតាង $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}$ អាចជាអនុគមន៍ផត ឬម៉ូណូតូន។ នោះគេបាន

${f(x)(a-b)^k(a-c)^k+f(y)(b-a)^k(b-c)^k+f(z)(c-a)^k(c-b)^k \geq 0}\,$

ទំរង់ស្តង់ដានៃវិសមភាពស្យ៉ឺរគឺជាករណីនៃវិសមភាពនេះដែល x = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = m^r ។

សំរាយបញ្ជាក់

ចំណាំៈ បើ $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}_0^{+}$ ជាអនុគមន៍ផតហើយចំពោះ $m\geq n\geq 0 ; p\geq n\geq 0$ និងចំពោះ $a, b, c\in I$ គេបាន:

$mf(a)-nf(b)+pf(c)\geq 0$  ;(I)

យើងពិនិត្យករណី k ជាចំនួនគូនោះវិសមភាពខាងលើពិតជានិច្ច។ ហើយបើករណី k ជាចំនួនសេសវិញវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ

$(a-b)^k(a-c)^kf(x)-(a-b)^k(b-c)^kf(y)+(a-c)^k(b-c)^kf(z)\geq 0$

បន្ទាប់មកយើងតាង $m=(a-b)^k(a-c)^k ; n=(a-b)^k(b-c)^k ; p=(a-c)^k(b-c)^k ; a\geq b\geq c$

$m-n=(a-b)^k((a-c)^k-(b-c)^k)\geq 0\Longrightarrow m\geq n$

$p-n=(b-c)^k((a-c)^k-(a-b)^k)\geq 0\Longrightarrow p\geq n$

ដូចនេះយើងបាន $mf(x)-nf(y)+pf(z)\geq 0$

$\Longrightarrow (a-b)^k(a-c)^kf(x)-(a-b)^k(b-c)^kf(y)+(a-c)^k(b-c)^kf(z)\geq 0$ ពិត ។

សរុបទាំងពីរករណីខាងលើយើងបានចំលើយពិត។

ចំពោះវិសមភាព (I) ខាងលើយនេះប្រហែលជាមិនទាន់មានសៀវភៅណាមួយបានបោះពុម្ពផ្សាយនៅឡើយទេ។ ហើយចំពោះការស្រាយបញ្ជាក់សូមចូលមកទំព័រ:V-K

សូមមើលផងដែរ

• វិសមភាព