សញ្ញាយ៉ាកូប៊ី

សញ្ញាយ៉ាកូប៊ី(Jacobi symbol)ត្រូវគេប្រើក្នុងគណិតវិទ្យាក្នុងទ្រឹស្តីបទចំនួន(លេខ)។ វាត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមលោក ឆាល ហ្គូស្តាវ យ៉ាកូប យ៉ាកូប៊ី ។

ទ្រឹស្តីបទ

សញ្ញាយ៉ាកូប៊ីគឺជាលក្ខណៈទូទៅនៃសញ្ញាឡឺហ្សង់(Legendre Symbol)ដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយលោក យ៉ាកូប៊ីនៅឆ្នាំ១៨៣៧។

ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ $a\,$ និងគ្រប់ចំនួនគត់សេស $n\,$ សញ្ញាយ៉ាកូប៊ីគឺត្រូបានកំនត់ជា ផលគុណនៃសញ្ញាឡឺហ្សង់ដែលត្រូវគ្នានឹងកត្តាបឋមនៃ$n\,$។

$\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}\,$ ដែល $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$

$(\tfrac{a}{p})$ តាងអោយសញ្ញាឡឺហ្សង់ ដែលកំនត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់a និង​ ចំនួនសេសបឋមp ដោយ

$\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}$

ហើយ ផលគុណទទេ $\Bigg(\frac{a}{1}\Bigg) = 1$

លក្ខណៈនៃសញ្ញាយ៉ាកូប៊ី

១. បើ $n\,$គឺជាចំនួនសេស នោះសញ្ញាយ៉ាកូប៊ីក៏ជាសញ្ញាឡឺហ្សង់​។

២. $\left(\frac{a}{n}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } \gcd(a,n) \ne 1 \\\pm1\mbox{ if } \gcd(a,n) = 1\end{cases}$ ឬ $\left(\frac{a}{n}\right)\in \{0,1,-1\}$

៣. បើ$n\,$ មិនគូ $\left(\frac{ab}{n}\right) = \Bigg(\frac{a}{n}\Bigg)\left(\frac{b}{n}\right) \,$ ដូច្នេះ $\left(\frac{a^2}{n}\right) = 1 \,$ ឬ $0 \,$ ៤. បើ a ≡ b (mod n) ដូច្នេះ$\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right)$ បើ $n\,$ មិនគូ ។

៥. $\left(\frac{1}{n}\right) = 1$

៦. $\left(\frac{a}{mn}\right) =\left(\frac{a}{m}\right)\left(\frac{a}{n}\right) \,$ ដូច្នេះ $\left(\frac{a}{n^2}\right) = 1 \,$ ឬ $0 \,$

៧. $\left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\frac{(n-1)}{2}} = \left\{\begin{array}{cl} 1 & \textrm{if}\;n \equiv 1 \pmod 4\\ -1 &\textrm{if}\;n \equiv 3 \pmod 4\end{array}\right.$

៨. $\left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{\left(\frac{n^2-1}{8}\right)}$ ស្មើ 1 បើ n ≡ 1 (mod 8) ឬ n ≡ 7 (mod 8) ហើយ −1 បើ n ≡ 3 (mod 8) ឬ n ≡ 5 (mod 8) ។