អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

ក្នងការគណនា និងក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា អាំងតេក្រាលដោយផ្នែកជាក្បួនមួយដែលបំលែងផលគុណអាំងតេក្រាល​នៃអនុគមន៍​ទៅជាអាំងតេក្រាលអនុគមន៍ងាយៗ​ដើម្បីសំរួលដល់ការគណនា ។

ក្បួន

សន្មត f(x) និង g(x) ជាអនុគមន៍ជាប់ និងមានដេរីវេនៅក្នុងចន្លោះ a និង b នោះគេបានក្បួនអាំងតេក្រាលដោយផ្នែកសំដែងដោយ៖

$\color{blue} \int_a^b f(x) g'(x)\, dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x) g(x)\, dx\!$

ជាទូទៅ

$\color{blue} \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a)\!$

ក្បួននេះបង្ហាញថាពិតជាត្រឹមត្រូវ​ដោយប្រើប្រាស់ក្បួនផលគុណជំពោះដេរីវេ និងទ្រឹស្តីបទគ្រឹះនៃការគណនា។ ដូច្នេះ៖

$f(b)g(b) - f(a)g(a)\!$	$= \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) )\, dx\!$
	$=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x)\, dx.\!$

ចំពោះអាំងតេក្រាលមិនកំនត់ ក្បួនេះសំដែងដោយ

$\color{blue} \int f(x) g'(x)\, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\, dx\!$

នៅក្នុងទំរង់ខ្លី ប្រសិនបើយើងតាង u = f(x), v = g(x) និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល du = f ′(x) គេអាចសរសេរ

$\int u\, dv=uv-\int v\, du\!$

ឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ទី១

$\begin{align} \int x\cos (x) \,dx & = x\sin (x) - \int \sin (x) \, dx \\ & = x\sin (x) + \cos (x) + C \end{align} \!$

ឧទាហរណ៍ទី២

$\begin{align} \int xe^x \, dx & = xe^x-\int e^x\, dx \\ & = xe^x - e^x + C \end{align} \!$

ឧទាហរណ៍ទី៣

$\int e^{x} \cos (x) \, dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin (x) \, dx.\!$

ដូចគ្នាដែរ

$\int e^{x} \sin (x) \, dx\ = e^{x} \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx\!$

គេបាន

$\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + e^x \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \, dx.\!$

ដូចនេះ

$\int e^{x} \cos (x) \,dx = {e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) ) \over 2} + C\!$

ឧទាហរណ៍ទី៤

$\begin{align} \int \ln(x) \, dx & =\int \ln(x) \cdot 1 \, dx \\ & = x \ln (x) - \int \frac{x}{x} \, dx\\ & = x \ln (x) - \int 1 \, dx\\ & = x \ln (x) - x + C \end{align} \!$