កត្តាអាំងតេក្រាល

ក្នុងគណិតវិទ្យា កត្តាអាំងតេក្រាល​គឺ​ជា​អនុគមន៍​ដែលត្រូវបានគេ​ជ្រើសរើស​ដើម្បី​សំរួល​ដល់​ការដោះស្រាយ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

វិធីសាស្រ្ត

គេមានសមីការឌីផេរ៉ងស្យែលនៃទម្រង់

$y'+a(x)y = b(x)\quad\quad\quad \color{magenta}(1)$

ដែល $\ y = y(x)$ ជាអនុគមន៍មិនស្គាល់នៃ $\ x$ និង $\ a(x)$និង$\ b(x)$ ជាអនុគមន៍ដែលគេអោយ។

វិធីសាស្រ្តកត្តាអាំងតេក្រាល​ដំណើរការ​ដោយត្រលប់​អង្គខាងធ្វេង​ទៅជា​ទម្រង់ដេរីវេនៃផលគុណ

ចាត់ទុកអនុគមន៍ $\ M(x)$ ។ យើងគុណអង្គទាំងសងខាងនឹងនៃ $\ \color{magenta}(1)$ ដោយ $\ M(x)$ យើងបាន

$M(x)y' + M(x)a(x)y = M(x)b(x) \quad\quad\quad \color{magenta}(2)$

យើងចង់អោយអង្គខាងធ្វេងទៅជាទម្រង់ដេរីវេនៃផលគុណ (សូមមើល ក្បួនផលគុណ) ។ តាមពិត ប្រសិនបើយើងសន្មតថាអង្គខាងធ្វេងនេះអាចសំដែងឡើងវិញជា

$(M(x)y)' = M(x)b(x) \quad\quad\quad \color{magenta}(3)$

អង្គខាងឆ្វេងក្នុង $\ \color{magenta}(3)$ អាចត្រូវបានធ្វើអាំងតេក្រាលយ៉ាងងាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទគ្រឹះនៃការគណនា៖

$y(x) M(x) = \int b(x) M(x)\,dx + C,$

ដែល $C$ ជាចំនួនថេរ ។ យើងអាចដោះស្រាយសមីការចំពោះ $\ y(x)$

$y(x) = \frac{\int b(x) M(x)\, dx + C}{M(x)}\,$

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ $\ y(x)$ យើងចាំបាច់រកកន្សោមមួយចំពោះ $\ M(x)$ ។

សរសេរ $\ \color{magenta}(3)$ ឡើងវិញដោយប្រើក្បួនផលគុណ។

$(M(x)y)' = M'(x)y + M(x)y' = M(x)b(x)\quad\quad\quad$

តួសមភាពក្នុង $\ \color{magenta}(2)$ គឺវាប្រាកដថា $\ M(x)$ គោរពតាមសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

$M'(x) = a(x)M(x) \quad\quad\quad \color{magenta}(4)\,$

ដើម្បីទទួលបាន $\ M(x)$ ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $\ M(x)$ គេបាន

$\frac{M'(x)}{M(x)}-a(x) = 0\quad\quad\quad \color{magenta}(5)$

សមីការ $\ \color{magenta}(5)$ គឺជាទម្រង់នៃដេរីវេលោការីត។ ដោយដោះស្រាយសមីការ $\ \color{magenta} (5)$ យើងបាន

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}$

យើងឃើញថាផលគុណនឹង $\ M(x)$ និងលក្ខណៈ $\ M'(x) = a(x)M(x)$ គឺមានសារៈសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ $\ M(x)$ ហៅថាកត្តាអាំងតេក្រាល។

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

$y'-\frac{2y}{x} = 0$

យើងអាចឃើញថាក្នុងករណីនេះ $a(x) = \frac{-2}{x}$

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}$

$M(x)=e^{\int \frac{-2}{x}\,dx} = e^{-2 \ln x} = {(e^{\ln x})}^{-2} = x^{-2}$ (សំគាល់៖ យើងមិនចាំបាច់បញ្ចូលថេរអាំងតេក្រាលទេ យើងត្រូវការតែចំលើយមួយគត់ មិនមែនចម្លើយទូទៅទេ)

$M(x)=\frac{1}{x^2}$

ដោយគុណអង្គទាំងសងខាងនឹង $\ M(x)$ យើងបាន

$\frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0$

$\left(\frac{y}{x^2}\right)' = 0$

ឬ

$\frac{y}{x^2} = C \,$

ដូចនេះ

$\ y(x) = Cx^2$

បម្រើបម្រាស់ទូទៅ

ពាក្យកត្តាអាំងតេក្រាលស្ទើរតែជាចម្លើយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី១។ ឧទាហរណ៍ចំពោះសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី២

$\frac{d^2 y}{d t^2} = A y^{2/3}$

អាចទទួលបាន $\tfrac{d y}{d t}$ នូវកត្តាអាំងតេក្រាល

$\frac{d^2 y}{d t^2} \frac{d y}{d t} = A y^{2/3} \frac{d y}{d t}$

ដើម្បីធ្វើអាំងតេក្រាល កត់សំគាល់ថា​អង្គទាំងសងខាង​នៃសមីការ​អាចសំដែងជាដេរីវេ​ដោយត្រលប់ថយក្រោយវិញជាមួយនិងក្បួនឆេន (chain rule) (ឬហៅថាទ្រឹស្តីបទដេរីវេនៃអនុគមន៍បណ្តាក់)៖

$\frac{d}{d t}\left(\frac 1 2 \left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right) = \frac{d}{d t}\left(A \frac 3 5 y^{5/3}\right)$

ហេតុនេះ

$\left(\frac{d y}{d t}\right)^2 = \frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0$

ដោយប្រើវិធីបំបែកអថេរ គេបាន

$\int \frac{d y}{\sqrt{\frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0}} = t + C_1$

នេះ​ជា​ដំណោះស្រាយអ៊ីមផ្លីស៊ីត​ដែលជាប់ទាក់ទង់និងអាំងតេក្រាលថ្នាក់ខ្ពស់។